Численное интегрирование задач Коши с несингулярными особыми точками

Решения многих прикладных задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений имеют один или несколько кратных нулей на отрезке интегрирования. Примерами являются уравнения специальных функций математической физики. Наличие кратных нулей существенно затрудняет численный расчёт, поскольку такие задачи являются плохо обусловленными. Из-за ошибок округления в решении может не остаться ни одного верного знака. Поэтому кратные нули следует отнести к особым точкам ОДУ. В данной работе предложена локальная замена искомой функции, которая преобразует кратный нуль решения в простой. Расчёт последнего не представляет трудностей. Это позволяет кардинально повысить точность и надёжность расчёта. Проведены иллюстративные примеры, которые подтверждают преимущества предлагаемого метода.

Numerical integration of the Cauchy problemwith non-singular special points

Solutions of many applied Cauchy problems for ordinary differentialequations have one or more multiple zeros on the integration segment. Examples arethe equations of special functions of mathematical physics. The presence of multiplesof zeros significantly complicates the numerical calculation, since such problemsare ill-conditioned. Round-off errors may corrupt all decimal digits of the solution.Therefore, multiple zeros should be treated as special points of the differentialequations. In the present paper, a local solution transformation is proposed, whichconverts the multiple zero into a simple one. The calculation of the latter is notdifficult. This makes it possible to dramatically improve the accuracy and reliabilityof the calculation. Illustrative examples have been carried out, which confirm theadvantages of the proposed method.