Весовые неравенства для квазилинейных интегральных операторов на конусе монотонных функций

В работе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения весовых неравенств типа Харди для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций. Для этого выбирается композиция степенных интегральных операций и изучается вопрос о характеризации ее ограниченности в весовых (квази) нормах Лебега на конусах неотрицательных монотонно убывающих функций на действительной полуоси. Основным методом решения поставленной задачи является метод редукции интегральных неравенств на конусах монотонных функций к неравенствам на конусах всех произвольных неотрицательных функций, допускающих эквивалентное описание в терминах ограниченности подходящих функционалов, зависящих от ингредиентов исходной задачи. Как правило мы получаем эквивалентность получаемых функционалов и наилучших констант, участвующих в исходном неравенстве с точностью до мультипликативных сомножителей, зависящих только от параметров суммирования. В отличие от первоначальных задач в данной области мы рассматриваем многопараметрический случай, увеличивая количество весовых функций и параметров суммирования. Этот случай является новым и для конусов монотонных функций рассматривается впервые.

Weighted Inequalities for Quasilinear Integral Operators on the Cone of Monotone Functions

Criteria for the Hardy-type inequalities with quasi-linear operators on the cones of monotone functions on the semiaxis are obtained. We study the problem of finding necessary and sufficient conditions for the weighted Hardy-type inequalities for the quasi-linear operators on the cone of monotone functions. To this end we choose a composition of power type integral operations and investigate the characterization problem on its boundedness in the weighted Lebesgue (quasi) norms on the cones of non-negative monotone decrasing functions on the real semiaxis. The main method of the solution of the problem is the reduction method which allows to reduce the inequality on the cones of monotone functions to the corresponding inequalities on the cones of arbitrary non-negative functions, which adopt equivalent description in terms of the boundedness appropriated functionals depending on ingredients of the initial problem. As usual we obtain equivalence of the functionals and the best constants involving into initial inequalities, where the mulpiple constants of equivalence depend only of the parameters of summation. Unlike the initial problems of this area we study multiparametrical case increasing the number of weight functions and summation parameters. This case is new for the weighted inequalities on the cones of monotone functions.