ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ: СЛУЧАЙ СУММИРУЕМЫХ КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Изучается задача Дирихле в полупространстве для эллиптических уравнений, содержащих, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига, действующие по тангенциальным (пространственноподобным) переменным, т.е., независимымпеременным, изменяющимся на всей вещественной оси. Краевая функция задачи предполагается суммируемой, что в классическом случае дифференциальных эллиптических уравнений соответствует ситуации, в которой возможны только решения с конечной энергией.Рассматриваются два (принципиально различных) случая: случай, в котором исследуемое уравнение содержит суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига, и случай, когда оно содержит их суммы (т.е. является уравнениемс нелокальными потенциалами). Для обоих типов задач строится интегральное представление решения указанной задачи в смысле обобщенных функций, доказывается егобесконечная гладкость в открытом полупространстве (т.е. вне краевой гиперплоскости)и доказывается его равномерное стремление к нулю (а также равномерное стремлениек нулю любой его производной) при стремлении к бесконечности времениподобной переменной (т.е. единственной независимой переменной, изменяющейся на положительной полуоси). Скорость этого стремления к нулю - степенная; порядок степени равенсумме размерности пространственноподобной независимой переменной и порядка производной решения.Излагаются наиболее общие (на текущий момент) результаты: сдвиги независимых переменных допускаются в произвольных (тангенциальных) направлениях, а там, гдесдвигов несколько, на их величины не накладывается никаких условий соизмеримости. Таким образом, так же как и в классическом случае, задачи с суммируемыми краевыми функциями принципиальным образом отличаются от изученных ранее задач ссущественно ограниченными краевыми функциями: последние, как установлено ранее,допускают решения, не имеющие предела при стремлении времениподобной переменной к бесконечности, а наличие или отсутствие такого предела определяется условиемстабилизации Репникова-Эйдельмана.

We study the Dirichlet problem in the half-space for elliptic equationsinvolving, apart of differential operators, the shift operators acting in tangential(spatial-like) variables, that is, in independent variables varying in entire real line.The boundary function in the problem is supposed to be summable, which in theclassical case corresponds to the situation, in which only solutions with finite energyare possible.We consider two principally different cases: the case, in which the studied equation involves superpositions of differential operators and the shift operators and the case,when it involves their sums, that is, it is an equation with nonlocal potentials.For both types of problems we construct an integral representation of the solution to this problem in the sense of generalized functions and we prove that its infinitelysmoothness in an open half-space (i.e., outside the boundary hyperplane) and tendsuniformly to zero together with all its derivatives as a time-like variable tends toinfinity; this time-like variable is a single independent variable varying on the positivehalf-axis. The rate of this decay is power-law; the degree is equal to the sum of thedimension of the space-like independent variable and the order of the derivative ofthe solution.The most general current results are presented: shifts of independent variables are allowed in arbitrary (tangential) directions, and if there are several shifts, noconditions of commensurability are imposed on their values.Thus, just as in the classical case, problems with summable boundary functions fundamentally differ from the previously studied problems with essentially boundedboundary functions: the latter, as previously established, admit solutions having nolimit when a time-like variable tends to infinity, and the presence or absence of sucha limit is determined by the Repnikov-Eidelman stabilization condition.