Задача оптимального управления и ее решение эволюционным алгоритмом "серого волка"

Работа посвящена численному методу для решения задачи оптимального управления. Основным подходом к численному решению задачи оптимального управления является редукция задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования и ее решение классическими градиентными методами оптимизации. Для данной цели задачу оптимального управления, как задачу поиска функции времени, заменяют поиском значений управления в дискретные моменты времени. Увеличение количества точек дискретизации, увеличивает точность аппроксимации функции, но и увеличивает размерность пространства поиска в задаче нелинейного программирования. В сложных задачах нелинейного программирования при неизвестной топологии целевой функции утверждение, что использование классических градиентных методов обеспечивает нахождение решения, - не оправдано. Часто задача оптимального управления в результате дискретизации и других особенностей преобразуется в задачу нелинейного программирования с не унимодальной целевой функцией, для которой не применимы градиентные методы. В работе предложено решать задачу оптимального управления эволюционными алгоритмами, которые не используют вычисление градиента и способны находить решение задач с не унимодальной целевой функцией. В работе представлен современный эволюционный алгоритм «серого волка». Рассмотрена прикладная задача оптимального разворота самолета. В задаче математическая модель объекта управления описана системой из семи обыкновенных дифференциальных уравнений и заданы ограничения на величину и скорость изменения управления. Экспериментально показано, что эволюционный алгоритм «серого волка» успешно решает данную задачу оптимального управления.

Optimal control problem and its solution by grey wolf optimizer algorithm

The paper is devoted to a numerical method for solving the optimal control problem. The main approach to the numerical solution of the optimal control problem is the reduction of the optimal control problem to the problem of nonlinear programming and its following solution by classical gradient optimization methods. For this purpose, optimal control problem, which is a problem of searching time-dependent function, is replaced by the problem of searching of control values at discrete instants of time. An increase in the number of sampling points increases the accuracy of function approximation, but at the same time increases the dimensionality of the search space in the non-linear programming problem. In complex problems of non-linear programming with an unknown topology of the objective function, the statement that using classical gradient methods ensures finding a solution is not justified. The optimal control problem after the discretization and other modifications is often transformed to a non-linear programming problem with a non-unimodal objective function for which gradient methods are not applicable. In this paper we propose to solve the optimal control problem by evolutionary algorithms that do not use gradients and are able to find solutions of problems with nonunimodal objective function. The paper presents the modern evolutionary algorithm Grey wolf optimizer. The problem of the optimal combat turn of the aircraft is considered. In this problem the mathematical model of the control object is described by a system of seven ordinary differential equations. Also constraints on the value and rate of change of control are given. It is experimentally shown that the evolutionary algorithm Grey wolf optimizer successfully solves this optimal control problem.