О проблеме Бирмана в теории неотрицательных симметрических операторов с компактным обратным

Указаны широкие классы неотрицательных операторов Шредингера в $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}^3$, обладающих следующими свойствами:1. Подходящее множество нулевой меры в $\mathbb{R}^2(\mathbb{R}^3)$ определяет сужение каждого из таких операторов, являющееся неотрицательным симметрическим оператором (задачи Дирихле) с компактной пререзольвентой.2. При некоторых дополнительных условиях на потенциал расширение Фридрихса такого сужения имеет непрерывный (иногда абсолютно непрерывный) спектр, заполняющий положительную полуось.Приведенные результаты дают решение проблемы М. С. Бирмана.

Large classes of nonnegative Schrödinger operators on $\Bbb R^2$ and $\Bbb R^3$ with the following properties are described:1. The restriction of each of these operators to an appropriate unbounded set of measure zero in $\Bbb R^2$ (in $\Bbb R^3$) is a nonnegative symmetric operator (the operator of a Dirichlet problem) with compact preresolvent;2. Under certain additional assumptions on the potential, the Friedrichs extension of such a restriction has continuous (sometimes absolutely continuous) spectrum filling the positive semiaxis.The obtained results give a solution of a problem by M. S. Birman.