О характеристических определителях граничных задач для систем типа Дирака

Изучаются асимптотические свойства спектра граничных задач для следующей $n \times n$-системы типа Дирака $ y' + Q(x) y = i \lambda B(x) y, y = \mathrm{col} (y_1, \ldots, y_n), x \in [0,\ell], $ на конечном отрезке $[0,\ell]$ с общими регулярными граничными условиями $C y(0) + D y(\ell) = 1$, где $C, D \in \mathbb{C}^{n \times n}$. Здесь $Q = (Q_{jk})_{j,k=1}^n \in L^1$ - потенциальная матрица и $ B = \mathrm{diag} (\beta_1, \ldots, \beta_n) = B^* \in L^1([0,\ell];\mathbb{R}^{n \times n}) $ - диагональная “весовая” матрица. При $n=2m$ и $B(x) = \mathrm{diag} (-I_m, I_m)$ эта система эквивалентна $n\times n$-системе Дирака. Показывается, что при условии $\mathrm{supp} (Q_{jk}) \subset \mathrm{supp} (\beta_k - \beta_j)$ разность характеристических определителей $\Delta_Q(\cdot)$ и $\Delta_0(\cdot)$ изучаемой и “невозмущенной” ($Q \equiv 0$) граничных задач является преобразованием Фурье некоторой суммируемой функции, $ \Delta_Q(\lambda) = \Delta_0(\lambda) + \int\limits_{\widetilde{b}_-}^{\widetilde{b}_+} g(u) e^{i \lambda u} du, g \in L^1[\widetilde{b}_-, \widetilde{b}_+]. $ Этот результат справедлив для произвольных граничных условий и произвольной диагональной матрицы $B(\cdot) = B(\cdot)^*$. Это представление применяется для доказательства того, что характеристический определитель $\Delta_Q(\cdot)$ всегда является функцией класса $A$ экспоненциального типа, ограниченной на действительной оси. Также находятся условия, гарантирующие, что $\Delta_Q(\cdot)$ - функция типа синуса и дается точная асимптотика его нулей (собственных значений задачи) в этом случае. Показывается также, что если элементы матрицы $B(\cdot)$ меняют знак, то даже в случае регулярных граничных условий в ситуации общего положения спектр распадается на две ветви: собственные значения “хорошей” ветви лежат в горизонтальной полосе и близки к таковым у “невозмущенной задачи”, а собственные числа “плохой” ветви имеют ненулевую плотность и уходящие в бесконечность мнимые части. Этот эффект иллюстрируется на конкретном $2 \times 2$-примере. Библ. - 37 назв.

The paper is concerned with the asymptotic behavior of the eigenvalues of the following $n \times n$ Dirac type equation $ y' + Q(x) y = i \lambda B(x) y, y = \mathrm{col} (y_1, \ldots, y_n), x \in [0,\ell], $ on a finite interval $[0,\ell]$ subject to general regular boundary conditions $C y(0) + D y(\ell) = 1$ with $C, D \in \mathbb{C}^{n \times n}$. Here $Q = (Q_{jk})_{j,k=1}^n$ is an integrable potential matrix and $ B = \mathrm{diag} (\beta_1, \ldots, \beta_n) = B^* \in L^1([0,\ell];\mathbb{R}^{n \times n}) $ is a diagonal matrix “weight”. If $n=2m$ and $ B(x) = \mathrm{diag} (-I_m, I_m) $ this equation is equivalent to $n\times n$ Dirac equation. Under the assumption $\mathrm{supp} (Q_{jk}) \subset \mathrm{supp} (\beta_k - \beta_j)$, we show that the deviation of the characteristic determinants $\Delta_Q(\cdot)$ and $\Delta_0(\cdot)$ of this boundary value problem (BVP) and the unperturbed BVP (with $Q \equiv 0$) is a Fourier transform of some integrable function, $ \Delta_Q(\lambda) = \Delta_0(\lambda) + \int\limits_{\widetilde{b}_-}^{\widetilde{b}_+} g(u) e^{i \lambda u} du, g \in L^1[\widetilde{b}_-, \widetilde{b}_+]. $ We apply this representation to study of zeros distribution of the characteristic determinant $\Delta_Q(\cdot)$ (eigenvalues of the above BPV) and show that $\Delta_Q(\cdot)$ is always an entire class $A$ function of exponential type, which is bounded on the real axis. We also find conditions guaranteeing that $\Delta_Q(\cdot)$ is a sine-type function and provide sharp asymptotic formula for its zeros. Finally, we show that if the entries of matrix $B(\cdot)$ can change sign within the segment $[0,\ell]$, then in general even in the case of regular boundary conditions eigenvalues split into two branches: the “good” branch lies in the horizontal strip and is close to the eigenvalues of the unperturbed BVP, while the “bad” branch has non-zero density and imaginary parts that tend to infinity. We illustrate this effect on a concrete $2 \times 2$ example.