О порядках элементов квадратичного расширения конечного поля характеристики 2

Пусть F( 2 m ) произвольное поле характеристики 2, его квадратичное расширение мы будем рассматривать как алгебру с базисом 1, e над полем F( 2 m ) . Здесь 1 рассматривается как единичный элемент алгебры, а элемент e удовлетворяет соотношению e 2 = e+α . Элемент α может быть произвольным из поля F( 2 m ) , но неудовлетворяющий условию α= x+ x 2 при некотором x из F( 2 m ) . Пусть n 0 (α) обозначает порядок элемента e . Тогда основной результат работы можно сформулировать так: Неприводимый полином 1+t+ αt 2 делит полином 1+ t n тогда и только тогда, когда n 0 (α) делит натуральное n . Аналогичные результаты для произвольных элементов поля F( 2 2m ) следуют из этого. Доказательство базируется на свойствах рекуррентных соотношений между полиномами P n α и Q n α , определяемые для всех n=0,1,2,… из соотношений e n = P n α + Q n α e . Формулы для производящих рядов этих полиномов содержат наиболее важные такие свойства. Эти формулы были получены и имеют вид: 0 ∞ P k α t k = 1+t 1+ t+ α t 2 и 0 ∞ Q k α t k = t 1+ t+ α t 2 .

Let will be an arbitrary finite field of characteristic 2. It’s square extension will be considered as an algebra with basiс elements 1 and e over the field . Here is considered as the unit element of the algebra, and satisfies the relation: . An element maybe arbitrary from the field , but it is not satisfying to the condition for some element from . Let us denote the order of basis element . Then the main result of the paper can be formulated as: The irreducible polynomial divides the polynomial if and only the order if divides a natural . The similar results for arbitrary elements of field follow from main theorem. The proof of main result based on the properties of the recurrence relations between the polynomials and , definite for all by the relations + . The formulas for the generating series of these polynomials contain the most important such properties. The formulas were obtained and we have: , .