A remark on elliptic differential equations on manifold

For elliptic boundary value problems of nonlocal type in Euclidean space, the well posedness has been studied by several authors and it has been well understood. On the other hand, such kind of problems on manifolds have not been studied yet. Present article considers differential equations on smooth closed manifolds. It establishes the well posedness of nonlocal boundary value problems of elliptic type, namely Neumann-Bitsadze-Samarskii type nonlocal boundary value problem on manifolds and also Dirichlet-Bitsadze-Samarskii type nonlocal boundary value problem on manifolds, in H¨older spaces. In addition, in various H¨older norms, it establishes new coercivity inequalities for solutions of such elliptic nonlocal type boundary value problems on smooth manifolds

Для эллиптических краевых задач нелокального типа в евклидовом пространстве корректность поставленной задачи была хорошо изучена несколькими авторами. С другой стороны, такие проблемы на многообразиях широко не изучены. В настоящей статье рассмотрены дифференциальные уравнения на гладких замкнутых многообразиях. Установлена корректность нелокальных краевых задач эллиптического типа, а именно нелокальной краевой задачи типа Неймана-Бицадзе-Самарского на многообразиях, а также нелокальной краевой задачи типа Дирихле - Бицадзе - Самарского на многообразиях в пространствах Гольдера. Кроме того, в различных нормах Гольдера установлены новые неравенства коэрцитивности для решений краевых задач эллиптического нелокального типа на гладких многообразиях