О кубатурных формулах на сфере

Задача об отыскании весов и узлов кубатурных формул заданного порядка на единичной сфере, инвариантных относительно группы вращения икосаэдра, была исследована А. С. Поповым и М. Грефом численно. Эта задача, которую мы назовём задачей Попова, может быть сведена к системе нелинейных уравнений. Мы хотим представить доклад о исследовании проблемы Попова в системе общего назначения Sage и в системе GInv, новая версия которого была обнародована в 2021 году. Мы нашли множества решений системы Попова над полем вещественных алгебраических чисел A для порядка аппроксимации 19 и 20 в Sage. Уже для порядка 23 решить задачу Попова в Sage не удалось, так как система не смогла за несколько дней вычислить базис Грёбнера идеала системы уравнений, описывающих задачу Попова в данном случае. Однако система GInv успешно справилась с этой задачей; оказалось, что базисные многочлены имеют чрезвычайно большие целочисленные коэффициенты.

Cubature formulas on a sphere

The problem of finding the weights and nodes of cubature formulas of a given order on a unit sphere that are invariant under the rotation group of the icosahedron was studied by 1.S. Popov and M. Gräf numerically. This problem, which we will call Popov's problem, can be reduced to a system nonlinear equations. We want to submit the report about investigation of Popov's problem in the Sage general-purpose system and in the GInv system, a new version which was made public in 2021. We found the sets of solutions of Popov's system over the field of real algebraic numbers A for approximation orders 19 and 20 in Sage. For order 23, Popov's problem could not be solved in Sage, since the system could not calculate the Gröbner basis of the ideal for the system of equations describing Popov's problem in this case in a few days. However, the GInv system successfully coped with this task; it turned out that the basis polynomials have extremely large integer coefficients.