О ВЗАИМОСВЯЗИ ВАРИАЦИОННЫХ СИММЕТРИЙ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ

В работе изложен достаточно общий подход к выявлению взаимосвязи между симметриями В_и-потенциалов (вариационными симметриями) и алгебраическими структурами (Ли-допустимыми алгебрами и алгебрами Ли). Для этого в пространстве генераторов симметрий функционалов определены такие билинейные операции, как (S, T)-произведение, G-коммутатор, коммутатор. В первой части работы с целью полноты изложения приведены необходимые сведения о В_и-потенциальных операторах, инвариантных функционалах и вариационных симметриях. Во второй части получены условия, при которых (S, T)-произведение, G-коммутатор, коммутатор генераторов симметрий В_и-потенциалов также являются их генераторами симметрий. Доказано, что при выполнении некоторых условий (S, T)-произведение превращает линейное пространство генераторов симметрий В_и-потенциалов в Ли-допустимую алгебру, а G-коммутатор, коммутатор - в алгебру Ли. Как следствие, аналогичные результаты получены для генераторов симметрий потенциалов (B_u = I - тождественный оператор). Кроме того, установлена связь симметрий функционалов с алгебрами Ли в случае бипотенциалвности их градиентов. Теоретические результаты проиллюстрированы примерами.

In the work we present a rather general approach for finding connections between the symmetries of ??-potentials, variational symmetries, and algebraic structures, Lie-admissible algebras and Lie algebras. In order to do this, in the space of the generators of the symmetries of the functionals we define such bilinear operations as (S, T)-product, G-commutator, commutator. In the first part of the work, to provide a complete description, we recall needed facts on ??-potential operators, invariant functionals and variational symmetries. In the second part we obtain conditions, under which (S, T)-product, G-commutator, commutator of symmetry generators of ??-potentials are also their symmetry generators. We prove that under some conditions (S, T)-product turns the linear space of the symmetry generators of ??-potentials into a Lie-admissible algebra, while G- commutator and commutator do into a Lie algebra. As a corollary, similar results were obtained for the symmetry generators of potentials, ≡ ?, where the latter is the identity operator. Apart of this, we find a connection between the symmetries of functionals with Lie algebras, when they have bipotential gradients. Theoretical results are demonstrated by examples.