Асимптотическое решение задачи Штурма-Лиувилля с периодическими граничными условиями для релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера

Описание взаимодействия релятивистских частиц в рамках квазипотенциального подхода широко применяется в современной физике. Этот подход основан на так называемой ковариантной формулировке квантовой теории поля, в которой эта теория рассматривается на пространственно-подобной трёхмерной гиперповерхности в пространстве Минковского. Особое внимание в этом подходе уделяется методам построения различных квазипотенциалов, а также использованию квазипотенциального подхода для описания характеристик связанных состояний в кварковых моделях, таких как амплитуды адронного упругого рассеяния, масс-спектры и ширины распадов мезонов, сечения глубокого неупругого рассеяния лептонов на адронах. В настоящей работе сформулированы задачи Штурма-Лиувилля с периодическими граничными условиями на отрезке и на положительной полупрямой для усечённого релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера (уравнение Логунова-Тавхелидзе-Кадышевского, LTKT-уравнение) с малым параметром при старшей производной. Целью работы является построение асимптотических решений (собственных функций и собственных значений) в виде регулярных и погранслойных частей решений для этой сингулярно возмущённой задачи Штурма-Лиувилля. Основная задача исследования состоит в асимптотическом анализе поведенческих решений рассматриваемой задачи в случае ε→0 и m→∞. Нами был предложен метод построения асимптотических решений (собственных функций и собственных значений), который является обобщением асимптотических методов решения сингулярно возмущённых задач, представленных в работах А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова. Основной результат данной работы - доказанные теоремы об асимптотической сходимости решений сингулярно возмущённой задачи к решениям вырожденной задач при ε→0 и сходимости решений усечённого LTKT-уравнения в случае m→∞. Кроме того, в статье нами рассматривается задача Штурма-Лиувилля на положительной полуоси для LTKT-уравнения 4-го порядка с периодическими граничными условиями для квантового гармонического осциллятора. Для этой задачи построены асимптотические приближения собственных функций и собственных значений и показана их сходимость к решению вырожденной задачи.

Asymptotic solution of Sturm-Liouville problem with periodic boundary conditions for relativistic finite-difference Schrödinger equation

The quasi-potential approach is very famous in modern relativistic particles physics. This approach is based on the so-called covariant single-time formulation of quantum field theory in which the dynamics of fields and particles is described on a space-like three-dimensional hypersurface in the Minkowski space. Special attention in this approach is paid to methods for constructing various quasi-potentials. The quasipotentials allow to describe the characteristics of relativistic particles interactions in quark models such as amplitudes of hadron elastic scatterings, mass spectra, widths of meson decays and cross sections of deep inelastic scatterings of leptons on hadrons. In this paper Sturm-Liouville problems with periodic boundary conditions on a segment and a positive half-line for the 2m-order truncated relativistic finite-difference Schrödinger equation (Logunov-Tavkhelidze-Kadyshevsky equation, LTKT-equation) with a small parameter are considered. A method for constructing of asymptotic eigenfunctions and eigenvalues in the form of asymptotic series for singularly perturbed Sturm-Liouville problems with periodic boundary conditions is proposed. It is assumed that eigenfunctions have regular and boundary-layer components. This method is a generalization of asymptotic methods that were proposed in the works of A. N. Tikhonov, A. B. Vasilyeva, and V. F Butuzov. We present proof of theorems that can be used to evaluate the asymptotic convergence for singularly perturbed problems solutions to solutions of degenerate problems when ε→0 and the asymptotic convergence of truncation equation solutions in the case m→∞. In addition, the Sturm-Liouville problem on the positive half-line with a periodic boundary conditions for the quantum harmonic oscillator is considered. Eigenfunctions and eigenvalues are constructed for this problem as asymptotic solutions for 4-order LTKT-equation.