Об алгебраических интегралах дифференциального уравнения

В статье рассматривается проблема интегрирования дифференциального уравнения в алгебраические функции, которая возникла вместе с интегральным исчислением, но все еще не полностью решена в конечной форме. Трудности, с которыми сталкиваются современные системы компьютерной алгебры при ее решении, рассматриваются на примере Maple. Представлено решение по методу определителей Лагутинского и его реализация в виде пакета Sagemath. Приведены необходимые условия существования интеграла сжимающего дифференцирования. Вывод кольца будет называться сжимающим, если существует такой базис B= {m1, m2, … }, в котором Dmi= cimi+o (mi). Докажем, что сжимающий дифференциал кольца полиномов допускает общий интеграл только в том случае, если среди индексов c1, c2, … равны. Эта теорема удобна для применения к задаче нахождения алгебраического интеграла уравнения Брио-Буке и дифференциальных уравнений с символическими параметрами. Получен ряд необходимых критериев существования интеграла, в том числе для дифференциальных уравнений Брио и Буке. Новые необходимые условия существования рационального интеграла относительно неподвижной особой точки даны и реализованы в Sage.

On algebraic integrals of a differential equation

We consider the problem of integrating a given differential equation in algebraic functions, which arose together with the integral calculus, but still is not completely resolved in finite form. The difficulties that modern systems of computer algebra face in solving it are examined using Maple as an example. Its solution according to the method of Lagutinski’s determinants and its implementation in the form of a Sagemath package are presented. Necessary conditions for the existence of an integral of contracting derivation are given. A derivation of the ring will be called contracting, if such basis = {1, 2, … } exists in which = + (). We prove that a contracting derivation of a polynomial ring admits a general integral only if among the indices 1, 2, … there are equal ones. This theorem is convenient for applying to the problem of finding an algebraic integral of Briot-Bouquet equation and differential equations with symbolic parameters. A number of necessary criteria for the existence of an integral are obtained, including those for differential equations of the Briot and Bouquet. New necessary conditions for the existence of a rational integral concerning a fixed singular point are given and realized in Sage.