Необходимые и достаточные условия потенциальности для нелинейного дифференциально-разностного оператора в частных производных

В статье исследуется на потенциальность дифференциальный оператор в частных производных с отклоняющимися аргументами на заданной области определения и относительно некоторой специальной билинейной формы. В случае потенциальности строится соответствующий функционал, т.е. исследуется вопрос существования решения обратной задачи вариационного исчисления для дифференциально-разностного оператора в частных производных...,.. билинейные нормированные линейные пространства над полем действительных чисел R. Оператор действует следующим образом.. :..(..) >..(..), где..(..)...,..(..).... Вводится понятие дифференциала Гато оператора.. в точке.. и оператора....(.., ·):.. >.., который есть производная Гато....(.., ·):.. >... Область определения..(..... ) состоит из элементов...., таких что (.. +...)...(..) для любого достаточно малого... Для заданного дифференциально-разностного оператора..,.. в частных производных класса....,..,получены необходимые и достаточные условия потенциальности. В качестве примеров рассматриваются нелинейный дифференциальный оператор второго порядка без отклонения аргументов и с отклоняющимися аргументами. С помощью полученных условий потенциальности построены соответствующие функционалы.

Necessary and Sufficient Conditions for the Potentiality of Nonlinear Differential-Difference Operator in Partial Derivative

The purpose of the present paper is to investigate the potentiality of the differential difference operator with deviant arguments and to construct the functional, if the given operatoris a potential on a given set relatively to the some special bilinear form, i.e. the problem ofexistence of solutions of inverse problems of the calculus of variations for partial differentialdifference operators is investigated. Let..,.. be normed linear spaces over the field of real numbers R. Take any operator.. :..(..) >..(..), where..(..)...,..(..).... A limit if it exists, is called the G.ateaux differential of.. at the point... The operator....(.., ·):.. >.. is called the G.ateaux derivative of.. at.. and will be denoted by...... Its domain of definition..(..... ) consists of elements.... such that (.. +...)...(..) for all.. sufficiently small. We obtain necessary and sufficient conditions for the adjusted partial differential difference op..,.. erator of..class. The nonlinear differential operator of the second order and the nonlinear..,.. differential operator of the second order with deviant arguments is consider as an example. Using the obtained conditions of potentiality corresponding functionals are constructed.