Вывод дисперсионного уравнения для трехслойной интегрально-оптической линзы Люнеберга в виде дифференциального уравнения в частных производных

В работе представлен вывод дисперсионного уравнения для трёхслойной интегрально-оптической линзы Люнеберга на основе метода адиабатических волноводных мод. Из этого уравнения следует связь между коэффициентом фазового замедления и функцией, определяющей толщину нерегулярного волноводного слоя. Дисперсионное уравнение представляется в виде нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от параметров. В число таких параметров входят как толщины регулярных волноводных слоёв, так и оптические параметры рассматриваемой линзы Люнеберга. Для представления дисперсионного уравнения в виде дифференциального уравнения в частных производных возникает необходимость вычисления в символьном виде определителя матрицы 12-го порядка, определяющего разрешимость системы линейных алгебраических уравнений, следующих из граничных условий. Для вычисления данного определителя в аналитической виде предлагается процедура редуцирования системы линейных алгебраических уравнений с применением системы компьютерной алгебры Maple.

THE DERIVATION OF THE DISPERSION EQUATIONS OF ADIABATIC WAVEGUIDE MODES IN THE THIN-FILM WAVEGUIDE LUNEBURG LENS IN THE FORM OF NON-LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FIRST ORDER

This paper presents a derivation of the dispersion equation for a three-layer integrated-optical Luneburg lens based on the method of adiabatic waveguide modes. From this equation there follows the relationship between the coefficient of phase deceleration and function, which determines the thickness of the irregular waveguide layer. The dispersion equation is represented in the form of non-linear partial differential equation of the first order with coefficients, depending on parameters. Among these parameters are regular waveguide layer thickness and optical parameters of the pending Luneburg lens. To represent the dispersion equation in the form of differential equations in partial derivatives, it is necessary to calculate a symbolic form the determinant of a matrix of 12th order, which determines the solubility of the system of linear algebraic equations, resulting from the boundary conditions. To calculate this determinant in analytical form a procedure of reduction of the system of linear algebraic equations with the use of the computer algebra system Maple is proposed.