Построение и анализ устойчивости недетерминированных многомерных моделей динамики популяций

Рассмотрены многомерные модели популяционной динамики, являющиеся обобщениями модели Лотки-Вольтерра на случай взаимодействия конечного числа популяций. Детерминистическое описание моделей даётся системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, представленными в работе в виде многомерных векторных дифференциальных уравнений. Качественные свойства указанных моделей достаточно хорошо изучены с помощью методов Ляпунова. Однако при детерминистическом описании моделей не учитываются вероятностные факторы, влияющие на поведение моделей. В недетерминистическом случае новые подходы к моделированию и анализу устойчивости представляют теоретический и прикладной интерес.В настоящей работе рассмотрены способы построения многомерных недетерминированных моделей взаимодействия популяций. Первый способ связан с переходом от векторного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения к соответствующим векторным дифференциальным включениям, нечётким и стохастическим дифференциальным уравнениям. На основе принципа редукции, позволяющего свести задачу об устойчивости решений дифференциального включения к задаче об устойчивости решений других типов уравнений, получены условия устойчивости для построенных моделей. Второй способ связан с методикой построения самосогласованных стохастических моделей. На основе этойметодики получена схема взаимодействия, которая включает в себя символическую запись возможных взаимодействий между элементами системы. С помощью операторов состояния системы и оператора изменения состояния системы описана структура многомерных стохастических моделей Лотки-Вольтерра, и осуществлён переход к соответствующим век-торным уравнениям Фоккера-Планка. Сформулированы правила перехода к многомерному стохастическому дифференциальному уравнению в форме Ланжевена. Для моделей,являющихся конкретизациями изучаемых общих моделей, возможно проведение численного эксперимента с применением разработанного программного комплекса для решения систем стохастических дифференциальных уравнений. Описанный подход к моделированию стохастических систем может найти применение в задачах сравнения качественных свойств моделей в детерминированном и стохастическом случаях. Полученные результаты направлены на развитие методов анализа недетерминированных нелинейных моделей.

DESIGN AND STABILITY ANALYSIS OF NONDETERMINISTIC MULTIDIMENSIONAL POPULATIONS DYNAMICS MODELS

The multidimensional models of the population dynamics are considered in the paper. Thesemodels are the generalizations of the Lotka-Volterra model in case of interaction of the finitenumber of populations. The deterministic description of the models is given by the systemsof the ordinary nonlinear differential equations presented in the paper in the form of themultidimensional vector differential equations. The qualitative properties of the specified modelsare sufficiently well studied by means of Lyapunov methods. However, the probabilistic factorsinfluencing on the behavior of models are not taken into account at the deterministic descriptionof models. The new approaches to the modeling and stability analysis are of theoretical andapplied interest in the nondeterministic case.In this paper, the methods for design of multidimensional nondeterministic models ofinteraction of populations are considered. The first method is connected with the transitionfrom the vector nonlinear ordinary differential equation to the corresponding vector differentialinclusions, fuzzy and stochastic differential equations. On the basis of the reduction principle,which makes it possible to reduce the problem of the stability of solutions of a differentialinclusion to the problem of stability of solutions of other types of equations, stability conditionsfor the constructed models are obtained. The second method is connected with the technique ofdesign of the self-consistent stochastic models. The scheme of interaction is received on the basisof this technique. This scheme includes a symbolical record of possible interactions between thesystem elements. The structure of the multidimensional stochastic Lotka-Volterra models isdescribed, and the transition to the corresponding Fokker-Planck vector equations is carriedout by means of the system state operators and the system state change operator. The rules forthe transition to the multidimensional stochastic differential equation in the Langevin form areformulated. The execution of the numerical experiment with the application of the developedprogram complex for solving the systems of the stochastic differential equations is possible forthe models which are the concretizations of the studied general models. The described approachto the modeling of the stochastic systems can be applied in the problems of comparing of thequalitative properties of the models in deterministic and stochastic cases. The obtained resultsare aimed at the development of the methods for the analysis of nondeterministic nonlinearmodels.