Алгоритмы и программы решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с кусочно-постоянными потенциалами: многоканальная задача рассеяния и задача на собственные значения

Предложены новые алгоритмы и программы, реализованные в системе Maple для решения многоканальной задачи рассеяния и задачи на собственные значения волноводного типа для систем ОДУ второго порядка с матрицей кусочно-постоянных коэффициентов размерностью N х N на оси. Разработаны новые алгоритм и программа для решения краевой задачи методом сшивки фундаментальных решений (МСФР) системы ОДУ в точках разрыва потенциалов. На каждом из подынтервалов оси общее решение системы ОДУ ищется в виде линейной комбинации 2N фундаментальные решений с неизвестными коэффициентами. Каждое фундаментальное решение явно зависит от спектрального параметра и собственных значений и собственных векторов алгебраических задач на собственные значения с матрицей постоянных потенциалов размерностью N х N. Из условия непрерывности решений и их производных в точках разрывов потенциалов следует система алгебраических уравнений. В случае задачи на связанные или метастабильные состояния полученная система алгебраических уравнений содержит нелинейную зависимость от неизвестного спектрального параметра. Для решения такой нелинейной задачи сформулирован символьно-численный алгоритм. Дано сравнение эталонных расчётов связанных, метастабильных состояний и состояний рассеяния краевых задач для систем ОДУ второго порядка, выполненных с помощью программ, реализующих алгоритмы МСФР и метода конечных элементов.

Algorithms and programs for solving boundary-value problems for systems of second-order odes with piecewise constant potentials: multichannel scattering and eigenvalue problems

The new algorithms and programs, implemented in Maple, for solving waveguide-type multichannel scattering and eigenvalue problems for systems of the second-order ODEs with N х N matrix piecewise constant coefficients on the axis are proposed. New algorithm and program for solving the boundary-value problems by method of matching the fundamental solutions (MMFS) of the system of ODEs at the points of discontinuity of potentials are elaborated. In each of the subintervals of an axis the general solution of the system of ODEs are sought in the form of linear combination of 2N fundamental solutions with unknown coefficients. Each fundamental solution explicitly dependent on spectral parameter and eigenvalues and eigenvectors of algebraic eigenvalue problems with N х N matrix of constant potentials. From the condition of continuity for the solutions and their derivatives at the discontinuity points of the potentials, the system of algebraic equations is followed. In the case of bound or metastable state problem the obtained system of algebraic equations contains nonlinear dependence of unknown spectral parameter. For solving such nonlinear problem symbolic-numerical algorithm is formulated. The benchmark calculations of bound, metastable and scattering states of BVPs for systems of the second-order ODEs obtained using program of the MMFS are compared with those obtained using program of the finite element method.