Анализ системы массового обслуживания с двумя входящими потоками и вероятностным сбросом

Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с накопителем неограниченной ёмкости, в которую поступают два независимых пуассоновских потока заявок с различными интенсивностями и приоритетами. Заявка первого типа (приоритетная), находящаяся на приборе, может в момент окончания обслуживания либо покинуть систему с некоторой ненулевой вероятностью, либо с дополнительной вероятностью сбросить все заявки второго типа (неприоритетные заявки) из накопителя и покинуть систему. Длительности обслуживания заявок обоих типов имеют экспоненциальные распределения с различными значениями интенсивностей обслуживания. Для общего случая построен двумерный марковский процесс, получена система уравнений равновесия для стационарного распределения числа заявок обоих типов в системе. Для частного случая рассматриваемой системы (приоритетные заявки сбрасывают неприоритетные с вероятностью, равной единице) в явном виде представлено стационарное распределение числа приоритетных заявок в системе, вероятность простоя системы. Также получено выражение для вероятности простоя системы. Для неприоритетных заявок найдены вероятность ее сброса из системы приоритетной заявкой, стационарное распределение времени ожидания начала обслуживания (в терминах преобразований Лапласа-Стилтьеса и производящих функций), а также среднее время ожидания начала обслуживания.

The Analysis of Queueing System with Two Input Flows and Stochastic Drop Mechanism

The queueing system with two independent flows of requests with different types of priorities is considered. The incoming flows are Poisson flows with different (non equal) rates. The service times of each type requests are independent and exponentially distributed. The priority requests at the end of its service can drop non-priority ones with probability q (renovation probability) or just leaves the system with probability p = 1 - q. For general case the two-dimensional Markov process is introduced and the system of equilibrium equations for steady-state probability distribution is presented. For special case, when drop probability q is equal to one, some probabilistic characteristics as the steady-state probability distribution of priority requests, the probability of idle period are obtained. Also the analytical expressions for some characteristics of non-priority requests, such as probability of being dropped (or serviced), waiting time distribution for non-priority requests (in terms of Laplace-Stieltjes transformation and generating function) and mean waiting time, are obtained.