Кубатурные формулы на сетках Коробова со сверхстепенной сходимостью

Во многих прикладных задачах возникают многомерные интегралы по единичному гиперкубу. Обычно они вычисляются методами Монте-Карло. Эти методы основаны на использовании случайных точек, равномерно распределенных в единичном гиперкубе. Однако на практике используют псевдослучайные, либо квазислучайные последовательности, которые лишь имитируют свойства случайных точек. Погрешность таких кубатур убывает не быстрее, чем 1/?, где ? - число многомерных точек. В данной работе предлагаются принципиально новые кубатурные формулы со сверхстепенной сходимостью, близкой к ? (exp [- const ⋅?]). Эти формулы основаны на улучшенных сетках Коробова (названных экстремальными) и специальной замене переменных. Найдены параметры экстремальных сеток Коробова, позволяющие вычислять интегралы размерности 2 ≤ ? ≤ 12 с точностью вплоть до ошибок округления. Построены апостериорные оценки точности, практически неотличимые от фактически достигнутой в ходе расчета точности. В методах Монте Карло такие оценки ранее были неизвестны.

Multidimensional integrals over a single hypercube arise in many applied problems. They are usually calculated using Monte-Carlo methods. These methods are based on the use of random points evenly distributed in a single hypercube. However, in practice, pseudorandom or quasi-random sequences are used, which only simulate the properties of random points. The error of such cubatures decreases no faster than 1/?, where ? is the number of multidimensional points. In this paper, fundamentally new cubature formulas with superpower convergence close to ? (exp [- const ⋅?]) are proposed. These formulas are based on improved Korobov grids (called extreme ones) and special variable substitution. The parameters of extreme Korobov grids are found, which make it possible to calculate integrals of dimension 2 ≤ ? ≤ 12 with accuracy up to rounding errors. A posteriori estimates of accuracy are constructed, which are practically indistinguishable from the accuracy actually achieved during the calculation. Such estimates were previously unknown in Monte-Carlo methods.