Об отсутствии глобальных решений для квазилинейных обратных параболических неравенств с оператором типа <nobr>$p$</nobr>-Лапласа

В статье мы доказываем отсутствие глобальных решений квазилинейного обратного параболического неравенства <br>$$ u_{t}+\operatorname{div}(|x|^{\alpha}|u|^{\beta}|Du|^{p-2}Du) \geqslant |x|^{\gamma}|u|^{q-1}u,\qquad x\in\Omega,\quad t\geqslant 0 $$<br> с однородным граничным условием Дирихле и ограниченной интегрируемой знакопеременной начальной функцией, где <nobr>$\Omega$</nobr> – ограниченная гладкая область в <nobr>$\mathbb{R}^N$</nobr>.<br>Доказательство основано на получении априорных оценок для решений путем алгебраического анализа интегральной формы неравенства с оптимальным выбором пробных функций. Установим условия отсутствия решений, основанные на слабой постановке задачи с пробными функциями вида <br>$$ \phi_{R,\epsilon}(x,t)=(\pm u^{\pm}(x,t)+\epsilon)^{\delta} \varphi_{R}(x,t)\qquad при \quad \epsilon>0,\quad \delta>0, $$<br> где <nobr>$u^{+}$</nobr> и <nobr>$u^{-}$</nobr> являются положительной и отрицательной частями решения <nobr>$u$</nobr> задачи, а <nobr>$\varphi_{R}$</nobr> – стандартная срезающая функция, носитель которой зависит от параметра <nobr>$R$</nobr>.<br>Библиография: 12 названий.

Nonexistence of Global Solutions for Quasilinear Backward Parabolic Inequalities with <nobr>$p$</nobr>-Laplace-Type Operator