Методический вывод уравнения эйконала

Обычно при работе с уравнением эйконала ссылаются на его вывод в монографии Борна и Вольфа. Вывод этого уравнения выполнен достаточно небрежно. Для того чтобы разобраться в этом выводе, требуется определённое число имплицитных предположений. Для лучшего понимания приближения эйконала и для методических целей авторы решили повторить вывод уравнения эйконала, эксплицировав все возможные допущения. Методически предлагается следующий алгоритм вывода уравнения эйконала. Из уравнения Максвелла выводится волновое уравнение. При этом явно вводятся все условия, при которых это возможно сделать. Далее от волнового уравнения осуществляется переход к уравнению Гельмгольца. От уравнения Гельмгольца при приложении определённых допущений производится переход к уравнению эйконала. После разбора всех допущений и шагов реализуется собственно переход от уравнений Максвелла к уравнению эйконала. При выводе уравнения эйконала используется несколько формализмов. В качестве первого формализма используется стандартный формализм векторного анализа. Уравнения Максвелла и уравнение эйконала записывается в виде трёхмерных векторов. После этого и для уравнений Максвелла, и для уравнения эйконала используется ковариантный 4-мерный формализм. Результатом работы является методически выдержанное описание уравнения эйконала.

Methodological derivation of the eikonal equation

Usually, when working with the eikonal equation, reference is made toits derivation in the monograph by Born and Wolf. The derivation of this equationwas done rather carelessly. Understanding this derivation requires a certain numberof implicit assumptions. For a better understanding of the eikonal approximationand for methodological purposes, the authors decided to repeat the derivation of theeikonal equation, explicating all possible assumptions. Methodically, the followingalgorithm for deriving the eikonal equation is proposed. The wave equation is derivedfrom Maxwell’s equation. In this case, all conditions are explicitly introduced underwhich it is possible to do this. Further, from the wave equation, the transitionto the Helmholtz equation is carried out. From the Helmholtz equation, with theapplication of certain assumptions, a transition is made to the eikonal equation.After analyzing all the assumptions and steps, the transition from the Maxwell’sequations to the eikonal equation is actually implemented. When deriving the eikonalequation, several formalisms are used. The standard formalism of vector analysisis used as the first formalism. Maxwell’s equations and the eikonal equation arewritten as three-dimensional vectors. After that, both the Maxwell’s equations andthe eikonal equation use the covariant 4-dimensional formalism. The result of thework is a methodically consistent description of the eikonal equation.