Об отсутствии глобальных решений для квазилинейных обратных параболических неравенств с оператором типа $p$-Лапласа

В статье мы доказываем отсутствие глобальных решений квазилинейного обратного параболического неравенства
$$ u_{t}+\operatorname{div}(|x|^{\alpha}|u|^{\beta}|Du|^{p-2}Du) \geqslant |x|^{\gamma}|u|^{q-1}u,\qquad x\in\Omega,\quad t\geqslant 0 $$
с однородным граничным условием Дирихле и ограниченной интегрируемой знакопеременной начальной функцией, где $\Omega$ – ограниченная гладкая область в $\mathbb{R}^N$.
Доказательство основано на получении априорных оценок для решений путем алгебраического анализа интегральной формы неравенства с оптимальным выбором пробных функций. Установим условия отсутствия решений, основанные на слабой постановке задачи с пробными функциями вида
$$ \phi_{R,\epsilon}(x,t)=(\pm u^{\pm}(x,t)+\epsilon)^{\delta} \varphi_{R}(x,t)\qquad при \quad \epsilon>0,\quad \delta>0, $$
где $u^{+}$ и $u^{-}$ являются положительной и отрицательной частями решения $u$ задачи, а $\varphi_{R}$ – стандартная срезающая функция, носитель которой зависит от параметра $R$.
Библиография: 12 названий.

Nonexistence of Global Solutions for Quasilinear Backward Parabolic Inequalities with $p$-Laplace-Type Operator