О дифференциальных приближениях разностных схем

Понятие первого дифференциального приближения было введено в 1950-х годах для анализа разностных схем А. И. Жуковым и затем применялось для исследования качества разностных схем, возникающих при аппроксимации уравнений в частных производных. В настоящей работе первое дифференциальное приближение рассматривается как универсальная конструкция, позволяющая использовать методы компьютерной алгебры для исследования разностных схем, минуя прямое использование методов теории разностной алгебры. В первом разделе рассмотрено дифференциальное приближение для разностных схем, описывающих обыкновенные дифференциальные уравнения. Обсуждена связь между дифференциальным приближением, сингулярным возмущением исходной системы и понятием первого дифференциального приближения. Для этого простого случая показана связь между методом оценки ошибки аппроксимации решения, основанным на анализе первого дифференциального приближения, и методом Ричардсона – Калиткина. Во втором разделе обсуждаются дифференциальные приближения для разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения в частных производных. Понятие первого дифференциального приближения описано на языке степенной геометрии. Показано, что при аппроксимации совместной системы дифференциальных уравнений в частных производных не всегда получаются совместные разностные системы уравнений. В качестве способа проверки совместности системы разностных уравнений предлагается проверять совместность первого дифференциального приближения для разностной системы. С этих позиций обсуждается понятие полной совместности системы разностных уравнений. Приведено несколько примеров не вполне совместных систем. Для анализа совместности первого дифференциального приближения используется программное обеспечение, разработанное для исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены вопросы вычисления первого дифференциального приближения в системах компьютерной алгебры, Sage и SymPy.

The concept of the first differential approximation was introduced in the 1950s for the analysis of difference schemes by A. I. Zhukov and then was used to study the quality of difference schemes approximating equations in partial derivatives. In the present work, the first differential approximation is considered as a universal construction that allows to use computer algebra methods for investigation difference schemes, bypassing the direct use of the methods of difference algebra. The first section discusses the differential approximation for difference schemes approximating ordinary differential equations. The relationship between differential approximation, singular perturbation of the original system and the concept of the first differential approximation is discussed. For this simple case, the estimation for the difference between exact and approximate solutions is given and justified, the method is compared with Richardson – Kalitkin method. The second section discusses differential approximations for difference schemes approximating partial differential equations. The concept of the first differential approximation is described in the language of power geometry. As it has been shown, when approximating a consistent system of partial differential equations, consistent difference systems of equations are not always obtained. As a method of checking the consistency of a difference equations system, it is proposed to check the consistency of the first differential approximation for the difference system. From this point of view, the concept of strong consistency (s-consistency) of a system of difference equations is discussed. A few examples of systems that are not strongly consistent are given. To analyse the consistency of the first differential approximation, software developed for the investigation of partial differential equations is used. The problem of calculation of the first differential approximation in computer algebra, Sage and SymPy systems is considered.