Multistage pseudo-spectral method (method of collocations) for the approximate solution of an ordinary differential equation of the first order

The classical pseudospectral collocation method based on the expansion of the solution in a basis of Chebyshev polynomials is considered. A new approach to constructing systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations with variable coefficients and with initial (and/or boundary) conditions makes possible a significant simplification of the structure of matrices, reducing it to a diagonal form. The solution of the system is reduced to multiplying the matrix of values of the Chebyshev polynomials on the selected collocation grid by the vector of values of the function describing the given derivative at the collocation points. The subsequent multiplication of the obtained vector by the two-diagonal spectral matrix, ‘inverse’ with respect to the Chebyshev differentiation matrix, yields all the expansion coefficients of the sought solution except for the first one. This first coefficient is determined at the second stage based on a given initial (and/or boundary) condition. The novelty of the approach is to first select a class (set) of functions that satisfy the differential equation, using a stable and computationally simple method of interpolation (collocation) of the derivative of the future solution. Then the coefficients (except for the first one) of the expansion of the future solution are determined in terms of the calculated expansion coefficients of the derivative using the integration matrix. Finally, from this set of solutions only those that correspond to the given initial conditions are selected.

Рассмотрен классический псевдоспектральный метод коллокации, основанный на разложении решения по базису из полиномов Чебышева. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и с начальными (и/или граничными) условиями позволяет значительно упростить структуру матриц, приводя её к диагональной форме. Решение системы сводится к умножению матрицы значений полиномов Чебышева на выбранной сетке коллокации на вектор значений функции, описывающей заданную производную в точках коллокации. Следующее за этой операцией умножение полученного вектора на двухдиагональную спектральную «обратную» по отношению к матрице дифференцирования Чебышева приводит к получению всех коэффициентов разложения искомого решения за исключением первого. Этот первый коэффициент определяется на втором этапе исходя из заданного начального (и/или граничного) условия. Новизна подхода заключается в том, чтобы сначала выделить класс (множество) функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, с помощью устойчивого и простого с вычислительной точки зрения метода интерполяции (коллокации) производной будущего решения. Затем рассчитать коэффициенты (кроме первого) разложения будущего решения по вычисленным коэффициентам разложения производной с помощью матрицы интегрирования. И лишь после этого выделять из этого множества решений те, которые соответствуют заданным начальным условиям.