Shifted Sobol points and multigrid Monte Carlo simulation

Multidimensional integrals arise in many problems of physics. For example, moments of the distribution function in the problems of transport of various particles (photons, neutrons, etc.) are 6-dimensional integrals. When calculating the coefficients of electrical conductivity and thermal conductivity, scattering integrals arise, the dimension of which is equal to 12. There are also problems with a significantly large number of variables. The Monte Carlo method is the most effective method for calculating integrals of such a high multiplicity. However, the efficiency of this method strongly depends on the choice of a sequence that simulates a set of random numbers. A large number of pseudo-random number generators are described in the literature. Their quality is checked using a battery of formal tests. However, the simplest visual analysis shows that passing such tests does not guarantee good uniformity of these sequences. The magic Sobol points are the most effective for calculating multidimensional integrals. In this paper, an improvement of these sequences is proposed: the shifted magic Sobol points that provide better uniformity of points distribution in a multidimensional cube. This significantly increases the cubature accuracy. A significant difficulty of the Monte Carlo method is a posteriori confirmation of the actual accuracy. In this paper, we propose a multigrid algorithm that allows one to find the grid value of the integral simultaneously with a statistically reliable accuracy estimate. Previously, such estimates were unknown. Calculations of representative test integrals with a high actual dimension up to 16 are carried out. The multidimensional Weierstrass function, which has no derivative at any point, is chosen as the integrand function. These calculations convincingly show the advantages of the proposed methods.

Многомерные интегралы возникают во многих задачах физики. Например, моменты функции распределения в задачах переноса различных частиц (фотонов, нейтронов и др.) являются 6-мерными интегралами. При расчёте коэффициентов электропроводности и теплопроводности возникают интегралы рассеяния, размерность которых равна 12. Возникают задачи и с существенно большим числом переменных. Для вычисления интегралов столь высокой кратности наиболее эффективен метод Монте-Карло. Однако работоспособность этого метода сильно зависит от выбора последовательности, имитирующей набор случайных чисел. В литературе описано большое количество генераторов псевдослучайных чисел. Их качество проверяется с помощью батарей формальных тестов. Однако простейший визуальный анализ показывает, что прохождение таких тестов не гарантирует хорошей равномерности этих последовательностей. Для вычисления многомерных интегралов наиболее эффективны магические точки Соболя. В данной работе предложено усовершенствование этих последовательностей - смещённые магические точки Соболя, обеспечивающие большую равномерность распределения точек в многомерном кубе. Это ощутимо повышает точность кубатур. Существенной трудностью методов Монте-Карло является апостериорное подтверждение фактической точности. В данной работе предложен многосеточный алгоритм, позволяющий найти сеточное значение интеграла одновременно со статистически достоверной оценкой его точности. Ранее такие оценки были неизвестны. Проведены расчёты представительных тестовых интегралов с высокой фактической размерностью до 16. В качестве подынтегральной функции выбрана многомерная функция Вейерштрасса, не имеющая производной ни в одной точке. Эти расчёты убедительно показывают преимущества предложенных методов.