Существование обратной функции в окрестности нерегулярного значения

Классические теоремы об обратной функции гарантируют существование обратной функции в окрестности значения заданной точки, если в этой точке выполняется условие регулярности, т. е. первая производная в ней невырождена. Более общим условием существования неявной функции является условие 2-регулярности. Оно выполняется, например, для многих квадратичных отображений в нуле. Известно, что при естественных предположениях гладкости из 2-регулярности отображения в точке по некоторому направлению вытекает существование непрерывной обратной функции. В этой работе показано, что в известных утверждениях о существовании обратной функции при выполнении условия 2-регулярности предположения гладкости можно ослабить. При этом обратная функция может не быть непрерывной.

Existence of inverse function in a neighbourhood of a critical value

The classical inverse function theorems guarantee the existence of an inverse function in a neighborhood of the value of a given point if the regularity condition is satisfied at this point, that is, the first derivative at a given point is nondegenerate. A more general condition for the existence of an implicit function is the 2-regularity condition. It holds, for example, for many quadratic mappings at zero. It is known that under natural smoothness assumptions, the existence of a continuous inverse function follows from a 2-regularity of a map at a point in a certain direction. In this paper, it is shown that, in the known statements guaranteeing the existence of an inverse function when the 2-regularity condition is satisfied, we can weaken the smoothness assumptions. However, the inverse function may not be continuous.