Алгоритм вычисления в аналитическом виде интерполяционных полиномов Эрмита на d-мерном гиперкубе

Представлен символьно-численный алгоритм, реализованный в Maple для построения эрмитовых конечных элементов в стандартном d -мерном иперкубе. Базисными функциями конечных элементов являются многочлены, определяемые на специально построенном наборе значений самих многочленов и их первых частных производных в вершинах куба. Такой выбор значений позволяет построить кусочно-полиномиальные базисные функции непрерывные на границах конечных элементов вместе с производными первого порядка. В случае d - мерного гиперкуба показано, что базисные функции определяются произведением d интерполяционных полиномов Эрмита по каждой из переменных с непрерывными первыми производными на границах конечных элементов. Построенный базис можно использовать для решения эллиптических краевых задач методом конечных элементов. Эффективность и порядок точности схемы метода конечных элементов, алгоритма и программы продемонстрированы на примере точно решаемой краевой задачи Гельмгольца для трехмерного куба.

Algorithm for calculating interpolation Hermite polynomials in d-dimensional hypercube in the analytical form

A new symbolic algorithm implemented in Maple for constructing Hermitian finite elements in the standard d -dimensional hypercube is presented. The basis functions of finite elements are polynomials, determined from a specially constructed set of values of the polynomials themselves and their first partial derivatives at the corners of the hypercube. Such a choice of values allows one to construct a piecewise polynomial basis continuous on the boundaries of finite elements together with the derivatives up to the first order. In the case of a d -dimensional cube, it is shown that the basis functions are determined by a product of d interpolation Hermite polynomials depending on each of the d variables with continuous first derivatives on the boundaries of finite elements. It can be used to solve elliptic boundary value problems by means of the finite element method. The efficiency and accuracy order of the finite element scheme, algorithm and program are demonstrated by the example of an exactly solvable Helmholtz problem for a three-dimensional cube.