Слабые гомологические размерности и биплоские алгебры Кёте

В работе исследуются гомологические свойства метризуемых алгебр Кёте <nobr>$\lambda(P)$</nobr>. Получен критерий биплоскости алгебры <nobr>$A=\lambda(P)$</nobr> в терминах множества Кёте <nobr>$P$</nobr>, из которого следует, в частности, что для таких алгебр свойства бипроективности, биплоскости и плоскости слева эквивалентны сюръективности оператора умножения <nobr>$A\mathbin{\widehat\otimes}A\to A$</nobr>. Вычислены слабые гомологические размерности (слабая глобальная размерность <nobr>$\operatorname{w.dg}$</nobr> и слабая биразмерность <nobr>$\operatorname{w.db}$</nobr>) биплоских алгебр Кёте. А именно, показано, что условия <nobr>$\operatorname{w.db}\lambda(P)\le1$</nobr> и <nobr>$\operatorname{w.dg}\lambda(P)\le1$</nobr> эквивалентны ядерности <nobr>$\lambda(P)$</nobr>; если же <nobr>$\lambda(P)$</nobr> неядерна, то $\operatorname{w.dg}\lambda(P) =\operatorname{w.db}\lambda(P)=2$. При некоторых дополнительных условиях на множество Кёте <nobr>$P$</nobr> установлено, что из ядерности биплоской алгебры Кёте <nobr>$\lambda(P)$</nobr> следует более сильная оценка <nobr>$\operatorname{db}\lambda(P)\le1$</nobr>, где <nobr>$\operatorname{db}$</nobr> – (проективная) биразмерность. С другой стороны, построен пример ядерной биплоской алгебры Кёте <nobr>$\lambda(P)$</nobr>, для которой <nobr>$\operatorname{db}\lambda(P)=2$</nobr> (в то время как <nobr>$\operatorname{w.db}\lambda(P)=1$</nobr>). Наконец, показано, что многие биплоские алгебры Кёте, не будучи аменабельными, имеют тривиальные в положительных степенях гомологии Хохшильда (с произвольными коэффициентами).<br>Библиография: 37 названий.

Weak homological dimensions and biflat Köthe algebras