Elliptic Equations with Arbitrarily Directed Translations in Half-Spaces

In this paper, we investigate the half-space Dirichlet problem for elliptic differential-difference equations with superpositions of differential operators and translation operators acting in arbitrary directions parallel to the boundary hyperplane. The summability assumption is imposed on the boundary-value function of the problem. The specified equations, substantially generalizing classical elliptic partial differential equations, arise in various models of mathematical physics with nonlocal and (or) heterogeneous properties or the process or medium: multi-layer plates and envelopes theory, theory of diffusion processes, biomathematical applications, models of nonlinear optics, etc. The theoretical interest to such equations is caused by their nonlocal nature: they connect values of the desired function (and its derivatives) at different points (instead of the same one), which makes many classical methods unapplicable.For the considered problem, we establish the solvability in the sense of generalized functions, construct Poisson-like integral representations of solutions, and prove the infinite smoothness of the solution outside the boundary hyperplane and its uniform convergence to zero (together with all its derivatives) as the timelike variable tends to infinity. We find a power estimate of the velocity of the specified extinction of the solution and each its derivative.

Исследуется задача Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с операторами, представляющими собой суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига в произвольных направлениях, параллельных краевой гиперплоскости. На краевую функцию задачи накладывается условие суммируемости. Указанные уравнения, существенно обобщающие классические эллиптические уравнения в частных производных, возникают в различных моделях математической физики, для которых имеют место нелокальные и (или) неоднородные свойства процесса или среды: теория многослойных пластин и оболочек, теория диффузионных процессов, биоматематические приложения, модели нелинейной оптики и др. В теоретическом плане интерес к таким уравнениям обусловлен их нелокальной природой - они связывают между собой значения неизвестной функции (и ее производных) не в одной точке, а в разных, что делает неприменимыми многие классические методы.Для рассматриваемой задачи устанавливается разрешимость в смысле обобщенных функций, строится интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, доказывается его бесконечная гладкость вне краевой гиперплоскости и его равномерное стремление к нулю (вместе со всеми его производными) при стремлении времениподобной независимой переменной к бесконечности. Доказывается степенная оценка скорости указанного равномерного затухания решения и каждой его производной.