Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения : специальность 01.01.01 "Вещественный, комплексный и функциональный анализ" : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа посвящена построению оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности. Построение оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримых функций, оценки положительных операторов на них имеют важные приложения в различных областях анализа, таких как, например, теория функциональных пространств, теория приближения, теория вложений, теория интерполяции. Рассмотрены два общих подхода для построения оптимальных оболочек конусов функций. Один из них базируется на методе ассоциированной двойственности. При его применении строится ассоциированное пространство ограниченных интегральных функционалов для заданного конуса. Доказывается, что оно представляет собой банахово идеальное пространство. С помощью принципа двойственности устанавливается, что ассоциированное к нему банахово идеальное пространство является минимальным, в которое вложен данный конус. Этот метод позволил решить ряд важных конкретных задач такого типа. В том числе рассмотрены пространства измеримых функций, заданных с помощью двухвесовых интегральных (квази)норм. Для них установлены точные описания ассоциированных норм и в случае исходных квазинорм решена задача об описании оптимальных (то есть минимальных) обобщенных банаховых функциональных пространств, в которые вложены исходные пространства. В то же время, его использование связано с наличием определенных трудностей и ограничений. По мере усложнения рассматриваемых задач существенно усложняются конструкции ассоциированных норм, которые в данном подходе необходимо строить на обоих этапах. Для описания ассоциированных норм мы используем методы дискретизации и антидискретизации. На этом пути есть и принципиальное ограничение. Ассоциированное пространство для конуса является банаховым. Соответственно, таким же является и ассоциированное к нему оптимальное идеальное пространство, содержащее данный конус. Тем самым, метод позволяет строить банаховы оболочки. В то же время, в ряде случаев эти оболочки могут быть еще сужены за счет использования квазинорм, не являющихся нормами. Таким образом, актуальной является задача о построении оптимальных квазибанаховых оболочек. Для этого развивается другой общий метод построения оптимальных оболочек с помощью включения в квазинорму специально подобранных нестягивающих операторов.Конструкции операторовс такими свойствами зависят от конкретных вариантов квазинорм и условий монотонности.Этот метод позволил построить идеальные квазинормированные оболочки для конусов с различными вариантами условий монотонности и при различных отношениях порядка, с которыми согласованы квазинормы идеальных пространств.