Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода

Посредством сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля первого рода исследована инфляционная динамика в пространственно-плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с полиномиальным потенциалом. Рассмотрено три потенциала: квадратичный, четвертой степени и их сумма. Аналитически доказан переход от инфляционной стадии к стадии осцилляций поля. Установлено, что большая доля е-расширений и времени инфляции приходится на период действия условия медленного скатывания, однако ускоренное расширение вселенной начинается до входа в режим медленного скатывания, а заканчивается после выхода из него. Показано, что в случае скалярного поля с экспоненциальным потенциалом существуют классы решений, имеющих особые точки, в которых расходится производная давления поля по его плотности энергии. Доказано, что окрестности этих точек малые скалярные возмущения метрики и поля остаются таковыми. Посредством сведения уравнения для спектрального индекса спектра возмущений плотности в приближении медленного скатывания к линейному стационарному уравнению Шредингера и применения преобразования Дарбу получены новые инфляционные потенциалы, которые могут давать значения спектрального индекса близкие к наблюдаемым.

Using reduction of the Einstein–Friedman equation to the Abel equation of the first kind we analyse inflation in the flat-space universe filled with single real scalar field with a polynomial potential. Three cases are examined: the quadratic potential, the fourth-power potential and their sum. We analytically show the transition from the inflationary phase to the phase of scalar field oscillations. It is established that the slow-rolling regime occupies the most part of inflation time and the most part of the e-folds number occurs in the slow-rolling regime, but accelerated expansion of the universe starts before the slow-rolling regime and ends some time after the slow-rolling approximation is no longer valid. It is also found out that for the scalar field with exponential potential there exist classes of solutions with singular points where pressure-density derivative diverges and show that small scalar perturbations of the metric and the field remain small near such points. The spectral index equation for the spectre of density perturbations in the slow-rolling approximation is reduced to the linear stationary Schr¨odinger equation. By means of Darboux transformation several new inflationary potentials are obtained, which can give spectral indexes close to the observed values.