ЭТА-ИНВАРИАНТ ДЛЯ СЕМЕЙСТВ С ПАРАМЕТРОМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

На гладком замкнутом многообразии рассматривается семейство операторов вида линейной комбинации псевдодифференциальных операторов с параметром с периодическими коэффициентами. Такие семейства возникают при исследовании нелокальных эллиптических задач на многообразиях с изолированными особенностями и/или с цилиндрическими концами. Цель работы - построить -инвариант для обратимых семейств и установить его свойства. Мы следуем подходу Мельроуза, который рассматривал -инвариант как обобщение числа вращения, равного интегралу от следа логарифмической производной семейства. При этом -инвариант Мельроуза равен регуляризованному интегралу регуляризованного следа логарифмической производной семейства. В нашей ситуации для регуляризации следа используется оператор разностного дифференцирования (вместо обычного дифференцирования у Мельроуза). Основным техническим результатом является тот факт, что оператор разностного дифференцирования осуществляет изоморфизм между пространствами функций с конормальной асимптотикой на бесконечности, что и позволяет определить регуляризованный след. Поскольку полученный регуляризованный след может возрастать на бесконечности, также вводится регуляризация для интеграла. Наша регуляризация интеграла включает операцию усреднения. Далее устанавливаются основные свойства -инварианта. А именно, -инвариант в смысле данной работы удовлетворяет логарифмическому свойству, а также является обобщением -инварианта Мельроуза, т.е. совпадает с последним в случае обычных псевдодифференциальных операторов с параметром. Наконец, предъявляется формула для вариации -инварианта при изменении семейства.

On a closed smooth manifold, we consider operator families being linear combinations of parameter-dependent pseudodifferential operators with periodic coefficients. Such families arise in studying nonlocal elliptic problems on manifolds with isolated singularities and/or with cylindrical ends. The aim of the work is to construct the -invariant for invertible families and to study its properties. We follow Melrose approach who treated the -invariant as a generalization of the number of rotations being equal to the trace of the logarithmic derivative of the family. At the same time, the Melrose -invariant is equal to the regularized integral of the regularized trace of the logarithmic derivative of the family. In our situation, for the trace regularization, we employ the operator of difference differentiating instead of the usual differentation used by Melrose. The main technical result is the fact the operator of difference differentiation is an isomorphism between the spaces of the functions with a conormal asymptotics at infinity and this allows us to determine the regularized trace. Since the obtained regularized trace can increase at infinity, we also introduce a regularization for the integral. Our integral regularization involves an averaging operation. Then we establish the main properties of the -invariant. Namely, the -invariant in the sense of this work satisfies the logarithmic property and is a generalization of Melrose -invariant, that is, it coincides with it for usual pseudodifferential operators with a parameter. Finally, we provide a formula for the variation of the -invariant under a variation of the family.