Линейчатые алгебраические поверхности с главным каркасом из трех суперэллипсов

Показана возможность преобразования алгебраических поверхностей с главным каркасом из трех суперэллипсов общего вида в линейчатые поверхности нескольких видов. Для этого необходимо взять один, два или все три суперэллипса в форме ромба, то есть в явных алгебраических уравнениях соответствующих суперэллипсов принять показатели степеней равными единице. Проиллюстрировано, что, взяв один и тот же главный каркас их трех плоских кривых, лежащих в главных координатных плоскостях, можно построить три алгебраические поверхности разных порядков. Соответственно, можно ввести в практику бесконечное число линейчатых поверхностей с предварительно заданным главным каркасом из трех суперэллипсов, некоторые из которых принимаются в виде прямых линий. В результате получаются пятнадцать форм, то есть пять троек линейчатых алгебраических поверхностей с главным каркасом из трех суперэллипсов, которые описываются тремя явными уравнениями или тремя системами параметрических уравнений. Эти поверхности включают в себя многогранник на ромбическом плане, некоторые виды цилиндроидов и коноидов и линейчатые поверхности, не описанные ранее в научной литературе. Все поверхности визуализированы на конкретных примерах. Ранее А.В. Коротичем введена в обращение новая группа поверхностей, названная линейчатыми квазимногогранниками из коноидов. Некоторые из представленных в исследовании линейчатых алгебраических поверхностей могут быть включены в эту группу линейчатых квазимногогранников.

Ruled algebraic surfaces with a main frame from three superellipses

An opportunity of conversion of algebraic surfaces with a main frame from three superellipses of general type into ruled surfaces of several views is shown. It is necessary to take one, two, or all of three superellipses in the form of a rhombus, i.e. it is necessary to assume exponents in explicit algebraic equations of suitable superellipses equal to one. It was illustrated that having taken one and the same main frame from three plane curves lying in the main coordinate planes, one can construct three algebraic surfaces of different orders. So, it is possible to introduce into practice great number of ruled surfaces with the preliminary given main frame from three superellipses. Some of them must be in the form of straight lines. As a result, fifteen shapes, i.e. five threes of ruled algebraic surfaces with a main frame from three superellipses were obtained with the help of three explicit equations or with the help of three systems of parametric equations. These surfaces contain a polyhedron on given rhombus plane, some types of cylindroids and conoids, and ruled surfaces not described in scientific literature before. All surfaces were visualized for concrete examples. Earlier, Professor A.V. Korotich introduced into practice a new group of surfaces which he called “Ruled quasipolyhedrons from conoids.” Some of the ruled algebraic surfaces presented in this paper can be put in this group of ruled quasipolyhedrons.