От алгебраических методов Диофанта - Ферма - Эйлера к арифметике алгебраических кривых: из истории диофантовых уравнений после Эйлера

Если говорить об истории той части диофантова анализа, в которой рассматривается решение диофантовых уравнений в рациональных числах, то прежде всего нужно отметить устойчивость алгебраического подхода к этой проблеме, восходящего к «Арифметике» Диофанта Александрийского. Действительно, после знакомства европейских математиков во второй половине XVI века с произведением Диофанта основным средством нахождения рациональных решений диофантовых уравнений становится алгебраический аппарат замен, подстановок и преобразований. Несмотря на ограниченность этих средств, математикам удалось на данном этапе получить важные результаты о решении в рациональных числах неопределенных уравнений с двумя неизвестными 2-й, 3-й и 4-й степеней. Детальный историко-математический анализ этих результатов дан, в частности, в исследованиях И. Г. Башмаковой и её учеников. В статье рассматривается, как в течение XIX века происходил отход от узко алгебраической трактовки диофантовых уравнений, характерной для большинства работ вплоть до конца XIX века, к более общему взгляду на предмет исследования и принципиальному расширению самих средств исследования диофантовых уравнений. Рассматриваются шаги в этом направлении, сделанные такими математиками, как О. Л. Коши, К. Г. Я. Якоби, Э. Люка. Особое внимание уделяется творчеству Дж. Дж. Сильвестра в области диофантовых уравнений и статье У. Стори «On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve», долгое время не попадавшим в поле зрения историков математики.

Talking about the Diophantine analysis’ history, namely, the problem of rational solutions of Diophantine equations, we should note the longevity of the algebraic approach, which goes back to Diophantus’ “Arithmetica”. Indeed, after the European mathematicians of the second half of the XVI century became acquainted with Diophantus’ oeuvre, algebraic apparatus of variable changes, substitutions and transformations turned into the main tool of finding rational solutions of Diophantine equations. Despite the limitations of this apparatus, there were obtained important results on rational solutions of quadratic, cubic and quartic indeterminate equations in two unknowns. Detailed historico-mathematical analysis of these results was done, inter alia, by I. G. Bashmakova and her pupils. The paper examines the departure from this algebraic treatment of Diophantine equations, typical for most of the research up to the end of XIX century, towards a more general viewpoint on this subject, characterized also by radical expansion of the tools used in the Diophantine equations’ investigations. The works of A. L. Cauchy, C. G. J. Jacobi and E´ . Lucas, where this more general approach was developed, are analyzed. Special attention is paid to the works of J. J. Sylvester on Diophantine equations and the paper “On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve” by W. Story, which were not in the focus of the research on history of the Diophantine analysis and where apparatus of algebraic curves was used in a pioneering way.