Complex eigenvalues in Kuryshkin-Wodkiewicz quantum mechanics

One of the possible versions of quantum mechanics, known as Kuryshkin- Wodkiewicz quantum mechanics, is considered. In this version, the quantum distribution function is positive, but, as a retribution for this, the von Neumann quantization rule is replaced by a more complicated rule, in which an observed value is associated with a pseudodifferential operator ?(?)^̂ . This version is an example of a dissipative quantum system and, therefore, it was expected that the eigenvalues of the Hamiltonian should have imaginary parts. However, the discrete spectrum of the Hamiltonian of a hydrogen-like atom in this theory turned out to be real-valued. In this paper, we propose the following explanation for this paradox. It is traditionally assumed that in some state the quantity is equal to if is an eigenfunction of the operator ?(?)^̂ . In this case, the variance ?((?-?)^{̂ 2})? is zero in the standard version of quantum mechanics, but nonzero in Kuryshkin’s mechanics. Therefore, it is possible to consider such a range of values and states corresponding to them for which the variance ?((? - ?)^{̂ 2}) is zero. The spectrum of the quadratic pencil ?(?^{̂ 2})-2?(?)?+?^{̂ 2}?̂ is studied by the methods of perturbation theory under the assumption of small variance ?(?) =̂ ?(?^{̂ 2}) - ?(?)^{̂ 2} of the observable ?. It is shown that in the neighborhood of the real eigenvalue of the operator ?(?)^̂ , there are two eigenvalues of the operator pencil, which differ in the first order of perturbation theory by ±?√⟨?⟩̂ .

Рассматривается одна из возможных версий квантовой механики, известная как квантовая механика Курышкина-Вудкевича. В этой версии существует положительная квантовая функция распределения, но, в расплату за это, правило квантования фон Неймана заменено более сложным правилом, при котором наблюдаемой величине ставится в соответствие псевдодифференциальный оператор ?(?)^̂ . Эта версия представляет собой пример диссипативной квантовой системы и поэтому ожидалось, что собственные значения гамильтониана должны иметь мнимые части. Однако точечный спектр гамильтониана водородоподобного атома в этой теории оказался вещественным. В настоящей статье мы предлагаем следующее объяснение этого парадокса. Традиционно принимают, что в некотором состоянии величина равна ?, если - собственная функция оператора ?(?)^̂ . При этом дисперсия ?((?-?)^{̂ 2})? равна нулю в стандартной версии квантовой механике, но не равна нулю в механике Курышкина. Поэтому можно рассмотреть такой спектр значений и соответствующих им состояний, при которых дисперсия ?((?-?)^{̂ 2}) равна нулю. В статье исследован спектр квадратичного пучка ?(?^{̂ 2})-2?(?)?+?^{̂ 2}?̂ методами теории возмущений в предположении малости дисперсии ?(?) =̂ ?(?^{̂ 2})-?(?)^{̂ 2} наблюдаемой ?. Показано, что в окрестности вещественного собственного значения оператора ?(?)^̂ , имеется два собственных значения операторного пучка, которые в первом порядке теории возмущений различаются на величину ±?√⟨?⟩̂ .