Задача обработки термографических данных ставится как обратная задача к некоторой смешанной краевой задаче для метагармонического уравнения с третьим краевым условием на части границы области. При построении математической модели рассматривается однородное теплопроводящее тело в форме цилиндра прямоугольного сечения, ограниченного поверхностью произвольного вида и содержащего стационарные источники тепла. На боковых гранях цилиндра задаётся краевое условие первого рода, На поверхности, ограничивающей цилиндр, принимается температурный режим, соответствующий конвективному теплообмену с внешней средой нулевой температуры и описываемый законом Ньютона. При постановке обратной задачи считаем, что термограмма соответствует измеренному стационарному распределению температуры на поверхности, ограничивающей цилиндр, а функция плотности распределения источников тепла, подлежащих исследованию, не известна. Если распределение температуры на поверхности задано, а источники тепла внутри тела не известны, то возникает обратная задача восстановления распределения температуры внутри тела, в том числе вблизи аномалий, по заданному (измеренному) распределению температуры на поверхности тела. Такое распределение оказывается более информативным, чем исходная термограмма. Обратная задача сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода - некорректно поставленной задаче. Приближенное решение, устойчивое к погрешностям в данных о распределении температуры на поверхности объекта, строится методом регуляризации Тихонова в виде экстремали сглаживающего функционала. Полученные в работе явные формулы в виде рядов Фурье для приближенного решения обратной задачи могут быть использованы для математической обработки термографических данных, в частности, в медицине.
The problem of processing thermographic data is posed as an inverse problem to some mixed boundary value problem for a metaharmonic equation with a third boundary condition on a part of the domain boundary. When constructing a mathematical model, a homogeneous heat-conducting body is considered in the form of a cylinder of rectangular cross section, bounded by an arbitrary surface and containing stationary heat sources. On the side faces of the cylinder, a boundary condition of the first kind is set, corresponding to a given stationary temperature distribution. The temperature regime is assumed on the surface bounding the cylinder. When setting the inverse problem, we assume that the thermogram corresponds to the measured stationary temperature distribution on the surface bounding the cylinder, and the distribution density function of the heat sources to be studied is not known. If the temperature distribution on the surface is given, and the heat sources inside the body are not known, then the inverse problem arises of restoring the temperature distribution inside the body, including near anomalies, from the given (measured) temperature distribution on the body surface. The inverse problem is reduced to a linear Fredholm integral equation of the first kind, an ill-posed problem. An approximate solution resistant to errors in the data on the temperature distribution on the surface of an object is constructed by the Tikhonov regularization method in the form of an extremal of the smoothing functional. The explicit formulas obtained in the work in the form of Fourier series for the approximate solution of the inverse problem can be used for mathematical processing of thermographic data, in particular, in medicine.