Устойчивое приближенное решение задачи продолжения потенциального поля в непериодической модели

Рассматривается некорректно поставленная задача продолжения поля ньютоновского потенциала по данным о поле потенциала на некоторой поверхности. Такая задача возникает в геофизике как задача обработки гравиметрических данных с целью выявления плотностных аномалий в толще земной коры, которые связываются с месторождениями полезных ископаемых. В этом случае используются данные о гравитационном поле Земли, как данные измерений поля, снятые с земной поверхности, которая, вообще говоря, не является плоской. В работе используется модель потенциального поля, удовлетворяющего системе уравнений потенциального поля внутри области цилиндрической формы прямоугольного сечения с неоднородными условиями первого рода на боковых гранях цилиндра. При постановке задачи продолжения поля поле потенциала задаётся на поверхности внутри цилиндра, заданной уравнением. Задача сведена к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Это уравнение - некорректно поставленная задача. Приближенное решение, устойчивое к погрешностям в данных о потенциале, строится на основе метода регуляризации Тихонова как экстремаль сглаживающего функционала. Экстремаль построена методом Фурье в виде двойного ряда Фурье с регуляризирующим множителем. Доказана сходимость приближенного решения при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных о потенциале. Полученные в работе явные формулы в виде рядов Фурье могут быть использованы для проведения модельных экспериментов и в методах математической обработки гравиметрических данных в геофизике.

Stable approximate solution of the potential field continuation problem in a non-periodic model

An ill-posed problem of continuation of the Newtonian potential field from data on the potential field on a certain surface is considered. Such a problem arises in geophysics as a problem of processing gravimetric data in order to identify density anomalies in the thickness of the earth's crust, which are associated with mineral deposits. In this case, data on the Earth's gravitational field are used as field measurements taken from the earth's surface, which, generally speaking, is not flat. We use a potential field model that satisfies the system of potential field equations inside a cylindrical rectangular area with inhomogeneous conditions of the first kind on the side faces of the cylinder. When setting the problem of field continuation, the potential field is set on the surface inside the cylinder, given by the equation. The problem is reduced to a linear Fredholm integral equation of the first kind. This equation is an ill-posed problem. An approximate solution resistant to errors in the potential data is constructed on the basis of the Tikhonov regularization method as an extremal of the smoothing functional. The extremal is constructed by the Fourier method in the form of a double Fourier series with a regularizing factor. The convergence of the approximate solution is proved when the regularization parameter is consistent with the error in the potential data. The explicit formulas obtained in the work in the form of Fourier series can be used for carrying out model experiments and in methods of mathematical processing of gravimetric data in geophysics.