Об одной обратной задаче для неоднородного метагармонического уравнения

В представленном исследовании решается обратная задача для смешанной краевой задачи для неоднородного метагармонического уравнения. К такой задаче приводят практические задачи обработки термографических данных с целью коррекции изображений на термограммах. Обратная задача ставится в рамках модели, описывающей стационарное распределение температуры в исследуемом объекте с учётом теплопереноса. Объект представляет собой цилиндр прямоугольного сечения, на боковых гранях которого принято однородное краевое условие второго рода, что соответствует отсутствию теплового потока через границу. На плоской поверхности, ограничивающей цилиндр, принимается температурный режим, соответствующий конвективному теплообмену с внешней средой известной температуры, при котором тепловой поток через поверхность объекта прямо пропорционален разности температур внутри и снаружи объекта. Если распределение температуры на (в данном случае - плоской) поверхности задано, а источники тепла внутри тела, связанные с аномалиями внутренней структуры тела, не известны, то возникает обратная задача восстановления распределения температуры внутри тела, в том числе вблизи аномалий, по заданному (измеренному) распределению температуры на поверхности тела. Распределение температуры вблизи аномалий позволяет описать эти аномалии. Обратная задача сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода - некорректно поставленной задаче. Приближенное решение, устойчивое к погрешностям в данных о распределении температуры на поверхности объекта, строится методом регуляризации Тихонова в виде экстремали сглаживающего функционала. Полученные в работе явные формулы в виде рядов Фурье для приближенного решения обратной задачи могут быть использованы для математической обработки термографических данных, в частности, в медицине.

On an inverse problem for an inhomogeneous metaharmonic equation

In the present study, we solve the inverse problem for a mixed boundary value problem for an inhomogeneous metaharmonic equation. Practical tasks of processing thermographic data in order to correct images on thermograms lead to such a task. The inverse problem is posed in the framework of a model describing the stationary temperature distribution in the object under study, taking into account heat transfer. The object is a cylinder of rectangular cross-section, on the side faces of which a homogeneous boundary condition of the second kind is assumed, which corresponds to the absence of heat flow through the boundary. On a flat surface bounding the cylinder, a temperature regime corresponding to convective heat exchange with an external environment of a known temperature is assumed, in which the heat flow through the surface of the object is directly proportional to the temperature difference inside and outside the object. If the temperature distribution on a (in this case, a flat) surface is given, and the heat sources inside the body associated with anomalies in the internal structure of the body are not known, then the inverse problem arises of reconstructing the temperature distribution inside the body, including near the anomalies, from the given (measured) temperature distribution on the surface of the body. The temperature distribution near the anomalies allows us to describe these anomalies. The inverse problem is reduced to a linear integral Fredholm equation of the first kind-an ill-posed problem. An approximate solution that is resistant to errors in the data on the temperature distribution on the object surface is constructed by the Tikhonov regularization method in the form of an extremal of the smoothing functional. The explicit formulas obtained in the form of Fourier series for the approximate solution of the inverse problem can be used for mathematical processing of thermographic data, in particular, in medicine.