Линейная обратная задача метагармонического потенциала для тел постоянной толщины

Рассматривается обратная задача восстановления плотности метагармонического потенциала по данным о потенциале на плоскости. Такая задача возникает в медицинской диагностике как задача обработки термографических данных с целью выявления патологий внутренних органов у пациента, которые связываются с температурными аномалиями. В работе используется модель стационарного распределения температуры (соответствующего стационарному уравнению теплопроводности, т.е. - уравнению Пуассона) внутри тела цилиндрической формы прямоугольного сечения с условиями первого рода на боковых гранях цилиндра, соответствующими постоянной температуре. В уравнение добавляется слагаемое, соответствующее учёту кровотока (уравнение становится метагармоническим). При постановке обратной задачи метагармонический потенциал задаётся на плоской поверхности, искомой величиной является функция плотности распределения источников, соответствующая телу постоянной толщины. Задача сведена к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Это уравнение - некорректно поставленная задача. Приближенное решение, устойчивое к погрешностям в данных о потенциале, строится на основе метода регуляризации Тихонова как экстремаль сглаживающего функционала. Экстремаль построена методом Фурье в виде двойного ряда Фурье с регуляризирующим множителем. Доказана сходимость приближенного решения при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных о потенциале. Полученные в работе явные формулы в виде рядов Фурье могут быть использованы для проведения модельных экспериментов и в методах математической обработки термографических данных в медицине.

Linear inverse problem of the metaharmonic potential for bodies of constant thickness

The inverse problem of restoring the density of the metaharmonic potential from the data on the potential on the plane is considered. Such a task arises in medical diagnostics as the task of processing thermographic data in order to identify pathologies of internal organs in the patient, which are associated with temperature anomalies. The paper uses a model of the stationary temperature distribution (corresponding to the stationary equation of thermal conductivity, i.e. - Poisson's equation) inside a cylindrical body of rectangular cross-section with conditions of the first kind on the side faces of the cylinder corresponding to a constant temperature. A term corresponding to blood flow accounting is added to the equation (the equation becomes metaharmonic). In the formulation of the inverse problem, the metaharmonic potential is given on a flat surface, the desired value is a function of the source distribution density corresponding to a body of constant thickness. The problem is reduced to a linear Fredholm integral equation of the first kind. This equation is an ill-posed problem. An approximate solution that is resistant to errors in the potential data is constructed on the basis of the Tikhonov regularization method as an extremal of the smoothing functional. The extremal is constructed by the Fourier method in the form of a double Fourier series with a regularizing factor. The convergence of the approximate solution is proved when the regularization parameter is matched with the error in the potential data. The explicit formulas obtained in the paper in the form of Fourier series can be used for conducting model experiments and in methods of mathematical processing of thermographic data in medicine.