Смешанная задача для уравнения Лапласа с неоднородными граничными условиями и приближённо заданными условиями Коши на приближенной заданной поверхности

Рассматривается некорректно поставленная смешанная задача для уравнения Лапласа в цилиндрической области прямоугольного сечения с неоднородными краевыми условиями первого рода на боковых гранях. Условия Коши известны приближённо на приближённо заданной поверхности, ограничивающей цилиндр. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, правая часть которого вычисляется с использованием нормали к поверхности, заданной приближённо. Задача вычисления нормали, как некорректно поставленная задача, решается как задача вычисления значений неограниченного оператора. Её регуляризованное решение получено в виде экстремали функционала Морозова. Приближенное решение интегрального уравнения и задачи в целом получено с использованием метода регуляризации Тихонова.

A mixed problem for the Laplace equation with inhomogeneous boundary conditions and approximate Cauchy conditions on an approximately given surface

We consider an ill-posed mixed problem for the Laplace equation in a cylindrical region of rectangular cross-section with inhomogeneous boundary conditions of the first kind on the side faces. The Cauchy conditions are known approximately on an approximately given surface bounding the cylinder. The problem is reduced to the Fredholm integral equation of the first kind, the right-hand side of which is calculated using the normal to the surface, given approximately. The problem of calculating the normal, as an ill-posed problem, is solved as the problem of calculating the values of an unbounded operator. Its regularized solution is obtained in the form of an extremal of the Morozov functional. An approximate solution of the integral equation and the problem as a whole is obtained using the Tikhonov regularization method.