О тороидальных поверхностях вращения с постоянной средней кривизной

Показано, что экстремаль объёма, заключённого внутри тороидальной поверхности заданной площади, доставляется поверхностью постоянной средней кривизны. Получено точное решение соответствующей вариационной задачи, и проведён его параметрический анализ в пределах большой и малой средней кривизны. Доказано отсутствие гладких торов постоянной средней кривизны и продемонстрировано, что искомая экстремальная поверхность имеет, по крайней мере, одно ребро, расположенное на наружном обводе тора.

On the toroidal surfaces of revolution with constant mean curvatures

It is shown that the surface with constant mean curvature encloses the extremal volume among all toroidal surfaces of given area. The exact solution for the corresponding variational problem is derived, and its parametric analysis is performed in the limits of high and small mean curvatures. An absence of smooth torus with constant mean curvature is proved, and the extremal surface is demonstrated to have at least one edge located on the outer side of the torus. © 2016 National Research Center Kurchatov Institute. All rights reserved.