Представление алгебры линейных отображений пространства полиномов в себя некоммутативными рядами

Основными объектами изучения в работе являются кольцо полиномов от S формальных образующих (S может быть произвольным натуральным), обозначаемое P_S над произвольным полем F характеристики ноль, а также алгебра всех линейных отображений пространства в P_S, обозначаемая A_F(P_S). Алгебра A_F(P_S) является сложным алгебраическим объектом, имеющим несчетное число образующих. С другой стороны, целый ряд операторов из A_F(P_S) имеет огромное значение в анализе. Достаточно упомянуть операторов дифференцирования, интегрирования, сдвига, конечных и разделенных разностей и многие другие. В настоящей работе рассматривается общая концепция представления элементов алгебры A_F(P_S) некоммутативными рядами, зависящими от конечного числа операторов из A_F(P_S). В общем случае таких операторов будет равно 2*S. Предложено несколько принципов разложения. В случае S = 1 был известен принцип разложения по степеням понижающих и повышающих операторов, который был перенесен для случая произвольного S. Предложено несколько других принципов разложения. Введено определение канонического базиса P_S и соответствующего ему множества канонических операторов, которые уже не являются ни повышающими, ни понижающими.

Representation of linear mapping algebra for polynomial spaces into themselves by non-commutative series

The main objects of the study are the ring of polynomials in S formal generators (S can be arbitrary natural), denoted by P_S over an arbitrary field F of characteristic zero, as well as the algebra of all linear mappings of the space P_S to P_S, denoted by A_F(P_S). The algebra A_F(P_S) is a complex algebraic object with an uncountable number of generators. On the other hand, a number of operators from A_F(P_S) are of great importance in the analysis. It is enough to mention the operators of the differentiation, integration, shift, the finite and separated differences, and many others. The paper considers the general concept of representing elements of the algebra A_F(P_S) by non-commutative series depending on a finite number of operators from A_F(P_S). In the general case, such operators will be equal to 2*S. Several decomposition principles are proposed. In the case of S=1 the known was the decomposition principle in powers of the decreasing and increasing operators, the one which was carried over for the case of arbitrary S. Several other decomposition principles are proposed. A definition of the canonical basis P_S and the corresponding set of canonical operators, which are neither increasing nor decreasing is introduced.