Задачи символьных вычислений, связанные с методами Рунге-Кутты и их решение в Sage

Схемы Рунге-Кутты играют очень важную роль в численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе представлен пакет rk, являющийся подпрограммой Sage для вычисления матрицы Бутчера. Было проведено несколько численных экспериментов со стандартными и симплектическими схемами и проведена верификация с аналитическими результатами вычислений. Во-вторых, в Sage есть превосходные инструменты для исследования алгебраических множеств, основанные на методе базиса Грёбнера. Как известно, выбор параметров в схеме Рунге-Кутты свободен. С помощью этих инструментов получены алгебраические свойства многообразий в аффинном пространстве, координатами которых являются коэффициенты Бутчера в схеме Рунге-Кутты. Результаты приведены как для явной схемы Рунге-Кутты, так и для неявной схемы Рунге-Кутты с использованием разработанного пакета rk. Также приведены примеры для обоснования полученных результатов. Все расчеты выполнены в системе компьютерной алгебре Sage.

The symbolic problems associated with Runge-Kutta methods and their solving in Sage

Runge-Kutta schemes play a very important role in solving ordinary differential equations numerically. At first we want to present the Sage routine for calculation of Butcher matrix, we call it an rk package. We tested our Sage routine in several numerical experiments with standard and symplectic schemes and verified our result by corporation with results of the calculations made by hand.Second, in Sage there are the excellent tools for investigation of algebraic sets, based on Gröbner basis technique. As we all known, the choice of parameters in Runge- Kutta scheme is free. By the help of these tools we study the algebraic properties of the manifolds in affine space, coordinates of whose are Butcher coefficients in Runge-Kutta scheme. Results are given both for explicit Runge-Kutta scheme and implicit Runge-Kutta scheme by using our rk package. Examples are carried out to justify our results. All calculation are executed in the computer algebra system Sage.