О сингулярном спектре конечномерных возмущений (к теории Ароншайна-Донохью-Каца)

Основные результаты теории Ароншайна-Донохью-Каца распространяются на n-мерные (в резольвентном смысле) возмущения Ã = Ã* оператора A0 = A0* в гильбертовом пространстве H. Применяя технику граничных троек, мы описываем сингулярный непрерывный и точечный спектры расширений AB симметрического оператора A в терминах функции Вейля M(·) пары {A, A0} и граничного n-мерного оператора B = B*. Устанавливается ортогональность сингулярных частей ЕsАв и ЕsАо спектральных мер ЕАв и ЕАо операторов AB и A0 при условии, что кратность сингулярного спектра оператора A0 максимальна. Исследована кратность сингулярного спектра специальных расширений прямых сумм А = А(1) ⊕ А(2). В частности, показано, что она не может быть максимальной в отличие от кратности абсолютно непрерывного спектра. Этот результат обобщает теорему Каца о кратности сингулярного спектра оператора Шрёдингера на оси и уточняет её.

On singular spectrum of finite dimensional perturbations (to the Aronszajn-Donoghue-Kac theory)

The main results of the Aronszajn-Donoghue-Kac theory are extended to the case of n-dimensional (in the resolvent sense) perturbations à of an operator A0 = A0* defined on a Hilbert space H. Applying technique of boundary triplets we describe singular continuous and point spectra of extensions AB of a symmetric operator A acting in H in terms of the Weyl function M(·) of the pair {A, A0} and boundary n-dimensional operator B = B*. Assuming that the multiplicity of singular spectrum of A0 is maximal it is established orthogonality of singular parts EsAв and EsAo of the spectral measures EAв and EAo of the operators AB and A0, respectively. It is shown that the multiplicity of singular spectrum of special extensions of direct sums A = A(1) ⊕ A(2) cannot be maximal as distinguished from multiplicity of the absolutely continuous spectrum. In particular, it is obtained a generalization of the Kac theorem on multiplicity of singular spectrum of Schrodinger operator on the line as well as its clarification. The multiplicity of singular spectrum of special extensions of direct sums A = A(1) ⊕ A(2) are investigated. In particular, it is shown that it cannot be maximal as distinguished from multiplicity of the absolutely continuous spectrum. This result generalizes the Kac theorem on multiplicity of singular spectrum of Schrodinger operator on the line and clarifies it.