Оптимизация расположения узлов интерполирующего сплайна в задачах отработки типовых траекторий движения

Рассматривается задача оптимизации расположения узлов интерполяции при визуализации и отработке плоского движения. В качестве траекторий используются типовые кривые: эллипсы, параболы, гиперболы как результаты конического сечения. Одним из основных подходов к организации универсальности вычислительных процедур при воспроизведении различных кривых является использование аппарата сплайн-интерполяции, который позволяет на единой методологической основе разрабатывать математическое обеспечение средств отработки сложных движений, хранить геометрическую информацию в компактном виде и воспроизводить траектории с наперёд заданной точностью. Значительный интерес при этом представляют локальные сплайны, в частности, параметрический кубический сплайн Эрмита, отличающийся простотой вычислительных процедур. Задача наилучшего приближения контура конического сечения формулируется следующим образом: найти узлы, минимизирующие максимальную относительную ошибку воспроизведения кривой при заданном числе опорных точек. В настоящей работе для получения узлов использовались специальные алгоритмы, предназначенные для рационального вычерчивания эллипсов, парабол и гипербол и позволяющие определённым образом расставлять опорные точки на кривой. Эти точки далее используются в качестве узлов для интерполяции кривых сплайном Эрмита. Показано, что результаты получаются при этом близкие к оптимальным. Проведены экспериментальные исследования поиска оптимального расположения узловых точек, путём ограниченного перебора, которые позволили улучшить результаты на 0.2%-5%. Полученные результаты могут быть практически применены при планировании и отработке траекторного движения летательного аппарата.

Spline knots optimization and its application to the problem of planning typical motion paths

We consider the problem of optimizing the location of interpolation nodes when visualizing and working out plane motion. Typical curves are used as motion trajectories: ellipses, parabolas, hyperbolas as the results of a conic section. One of the main approaches to organizing the universality of computational procedures for reproducing various curves is using the spline interpolation apparatus, which allows developing mathematical tools for performing complex movements, storing geometric information in a compact form and reproducing trajectories with a predetermined accuracy on a single methodological basis. Local splines are of considerable interest, in particular, the Hermite parametric cubic spline, which is distinguished by simplicity of computational procedures. The task of the best approximation of the contour of a conic section is formulated as follows: to find the nodes that minimize the maximum relative error in the reproduction of a curve for a given number of reference points. In the present work, special algorithms were used to derive the nodes, which were designed to rationally draw ellipses, parabolas, and hyperbolas, and allow one to set reference points on a curve in a certain way. These points are then used as interpolating nodes for a Hermite spline. It is shown that the results obtained in this case are close to optimal. Experimental studies of searching for the optimal location of knots were carried out by limited search, which allowed improving the results by 0.2%-5%. The results obtained can be practically applied when planning trajectory motion of the aircraft.