Решение краевых задач для систем ОДУ большой размерности: эталонные расчеты в рамках метода Канторовича

Представлены эталонные расчеты краевой задачи для систем ОДУ второго порядка большой размерности с помощью программы KANTBP с использованием метода конечных элементов. На практике для решения краевых задач с дальнодействующими потенциалами и большого числа открытых каналов необходимо решать краевые задачи для систем дифференциальных уравнений большой размерности, которые также требуют изучения сходимости и устойчивости алгоритмов и программ. С этой целью в данной работе решена задача на собственные значения для эллиптического дифференциального уравнения в двумерной области с граничными условиями Дирихле. Решение ищется в виде разложения Канторовича по параметрическим базисным функциям одной из независимых переменных, при этом вторая независимая переменная рассматривается как параметр. Базисные функции вычисляются в аналитическом виде как решения вспомогательной параметрической задачи Штурма-Лиувилля для ОДУ второго порядка. В результате, двумерная задача сводится к краевой задаче для самосопряжённой системы ОДУ второго порядка относительно второй независимой переменной. Дискретизация задачи выполнена в рамках метода конечных элементов. Эффективность, устойчивость и сходимость вычислительной схемы продемонстрирована эталонными расчетами для треугольной мембраны с вырожденным спектром.

Solution of the boundary-value problem for a systems of odes of large dimension: benchmark calculations in the framework of Kantorovich method

We present benchmark calculations of the boundary-value problem (BVP) for a systems of second order ODEs of large dimension with help of KANTBP program using a finite element method. In practice, for solving the BVPs with the long-range potentials and a large number of open channels there is a necessity of solving boundary value problems of the large-scale systems of differential equations that require further investigation of convergence and stability of the algorithms and programs. With this aim we solve here the eigenvalue problem for an elliptic differential equation in a two-dimensional domain with Dirichlet boundary conditions. The solution is sought in the form of Kantorovich expansion over the parametric basis functions of one of the independent variables with the second variable treated as a parameter. The basis functions are calculated in an analytical form as solutions of the auxiliary parametric Sturm-Lioville problem for a second-order ODE. As a result, the two-dimensional problem is reduced to a boundary-value problem for a set of self-adjoint second-order ODEs for functions of the second independent variable. The discrete formulation of the problem is implemented using the finite element method. The efficiency, stability and convergence of the calculation scheme is shown by benchmark calculations for a triangle membrane with a degenerate spectrum.