Управление динамикой связанных систем и обратные задачи динамики

Решается задача управления динамикой системы, содержащей элементы различной физической природы. Используя известные динамические аналогии, процессы в сложной системе описываются уравнениями классической механики. Соответствующие дифференциально-алгебраические уравнения включают в себя уравнения динамики, уравнения связей и формулировку целей управления. Динамика системы описывается уравнениями Лагранжа или уравнениями в канонических переменных, содержащими неопределённые множители в правых частях. Задача определения множителей Лагранжа или управляющих функций, соответствующих уравнениям связей, сводится к построению множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы. Приводится определение устойчивости решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей. Для обеспечения асимптотической устойчивости и стабилизации связей при численном решении дифференциальных уравнений вводятся динамические показатели, учитывающие отклонения от уравнений связей. Строится расширенная система уравнений динамики, состоящая из уравнений динамики исходной системы и уравнений возмущений связей. Уравнения возмущений связей, построенные по модифицированным динамическим показателям, позволяют определить условия устойчивости и стабилизации связей. Приводятся условия стабилизации связей, соответствующие численному решению уравнений динамики методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Предлагается решение задачи стабилизации вертикального положения стержня, закреплённого шарнирно на тележке, совершающей прямолинейное движение. Управление осуществляется посредством действующей на тележку силы и момента, приложенного к стержню.

Dynamic Control of Constrained Systems and Inverse Problems of Dynamics

The control problem of dynamic system, containing different physical elements, is solved.Using known dynamic analogies, processes in difficult system are described by the differential-algebraic equations of the classical mechanics. The corresponding differential-algebraic equa-tions include the dynamic equations, the constraints equations and the formulation of pur-pose of control. Dynamics of system is described by Lagrange equations or by equations inthe canonical variables, containing indeterminate multipliers in the right hand sides. Theproblem of definition of Lagrange multipliers or control functions corresponding to the con-straints equations, is reduced to construction of the differential equations systems havingpartial integrals. Definition of solutions stability of the dynamics equations in relation to theconstraints equations is given. The dynamic indicators considering deviations from the con-straints equations are entered for ensuring asymptotic stability and constraints stabilizationat the numerical solution of the differential equations. The expanded system of dynamicsequations, consisting of the initial system dynamics equations and the constraints perturba-tions equations is under construction. The constraints perturbations equations, constructedon the modified dynamic indicators, allow to define stability conditions and constraints sta-bilization. Conditions of constraints stabilization, corresponding to the numerical solution ofthe dynamics equations are given by Euler method and Runge–Kutta method. The solutionof a problem of stabilization of vertical position of the rod fixed by cylindrical joint on thecart, making rectilinear movement, is proposed. The control is performed by force acting onthe cart and moment applied to the rod.