Паракомпактность экстремально несвязных пространств

В данной работе рассматриваются ω-отображения, определяемые с помощью полуоткрытых множеств, т.е. множеств, являющихся объединениями открытых множеств и подмножеств их границ. Это квазинепрерывные ω-отображения. Характеризация паракомпактности, основанная на непрерывных ω-отображениях, давно и хорошо известна. Интересно выяснить, в какой мере можно отказаться от требования непрерывности ω-отображения в характеризации паракомпактности топологических пространств, обладающих теми или иными дополнительными свойствами. Одним из таких свойств является экстремальная несвязность. Основная цель нашей работы - дать характеристику экстремально несвязного паракомпактного пространства с помощью ω- отображения на метрическое пространство, ослабив требование непрерывности. Нами доказано, что экстремально несвязное пространство паракомпактно тогда и только тогда, когда для всякого его покрытия ω, состоящего из открытых множеств. существует квазинепрерывное ω-отображение на некоторое метрическое.

Paracompactness of Extremally Disconnected Spaces

In this paper we consider the ω-mappings defined by semi-open sets, i.e. sets that are unions of open sets and subsets of their boundaries. This are quasicontinuous ω-mappings. (The mapping f : X → Y is called quasi-continuous if for any open set G ⊂ Y the set f-1(G) is a semi-open set). Characterization of paracompactness based on continuous ω-mappings is well known. Of interest is the question of to what extent it is possible to waive the requirement of continuity of ω-mappings in the characterization of paracompactness of topological spaces with those, or other additional properties. One of these properties is extreme disconnectness. The main goal of our work is to characterize extremely disconnected paracompact space by ω-mapping on the metric space, loosening the requirement of continuity. We have proved that extremely disconnected space X is paracompact if and only if for any open covering ω of X there exists a quasi-continuous ω-mapping on some metric space.