О крайних точках множеств в пространствах операторов и пространствах состояний

Получено представление множества квантовых состояний барицентрами неотрицательных нормированных конечно аддитивных мер на единичной сфере $S_1(\mathcal H)$ гильбертова пространства $\mathcal H$. В терминах свойств меры на $S_1(\mathcal H)$ найдены условия принадлежности ее барицентра множеству крайних точек совокупности квантовых состояний и множеству нормальных состояний. Дана характеризация унитарных элементов унитальной $\mathrm C^*$-алгебры в терминах крайних точек. Исследованы крайние точки $\mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ единичного шара $\mathcal E^1$ нормированного идеального пространства операторов $\langle \mathcal E,\|\cdot \|_{\mathcal E}\rangle $ на $\mathcal H$. Если $U\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ для некоторого унитарного оператора $U\in \mathcal {B}(\mathcal H)$, то $V\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ для всех унитарных операторов $V\in \mathcal {B}(\mathcal H)$. Построены квантовые корреляции, отвечающие сингулярным состояниям на алгебре всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

We obtain a representation of the set of quantum states in terms of barycenters of nonnegative normalized finitely additive measures on the unit sphere $S_1(\mathcal H)$ of a Hilbert space $\mathcal H$. For a measure on $S_1(\mathcal H)$, we find conditions in terms of its properties under which the barycenter of this measure belongs to the set of extreme points of the family of quantum states and to the set of normal states. The unitary elements of a unital $\mathrm C^*$-algebra are characterized in terms of extreme points. We also study extreme points $\mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ of the unit ball $\mathcal E^1$ of a normed ideal operator space $\langle \mathcal E,\| \cdot \|_{\mathcal E}\rangle $ on $\mathcal H$. If $U\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ for some unitary operator $U\in \mathcal {B}(\mathcal H)$, then $V\in \mathrm {extr}(\mathcal E^1)$ for all unitary operators $V\in \mathcal {B}(\mathcal H)$. In addition, we construct quantum correlations corresponding to singular states on the algebra of all bounded operators in a Hilbert space.