Совместное стационарное распределение числа заявок в m очередях в N-канальной системе обслуживания с переупорядочением заявок

Рассматривается функционирующая в непрерывном времени N-канальная система обслуживания с накопителем бесконечной емкости и переупорядочением заявок. В систему поступает пуассоновский поток заявок, время обслуживания каждым прибором распределено по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром. При поступлении в систему всем заявкам присваивается порядковый номер. На выходе из системы сохраняется порядок между заявками, установленный при входе в нее. Заявки, завершившие обслуживание и нарушившие установленный порядок, формируют в бункере переупорядочения (БП) (неограниченной емкости) разные очереди. Если на приборах находится n (n = 1¯, N¯) заявок, то заявкой 1-го уровня будем называть ту из них, которая в систему поступила последней, 2-го уровня - предпоследней,..., n-го уровня - первой. Находящиеся в БП заявки, поступившие между заявками 2-го и 1-го уровней, будем называть заявками 1-й очереди, заявки, поступившие между заявками 3-го и 2-го уровней, - заявками 2-й очереди,..., заявки, поступившие между заявками N-го и (N - 1)-го уровней, - заявками (N - 1)-й очереди. Найдены математические соотношения в терминах производящих функций (ПФ), позволяющие алгоритмически вычислять совместное стационарное распределение числа заявок в накопителе и на приборах, а также в 1-й, 2-й,..., m-й очередях в БП (m = 1¯, N¯ -¯ 1¯).

JOINT STATIONARY DISTRIBUTION OF m QUEUES IN THE N-SERVER QUEUEING SYSTEM WITH REORDERING

The paper considers a continuous-time N-server queueing system with a buffer of infinite capacity and customer reordering. The Poisson flow of customers arrives at the system. Service times of customers at each server are exponentially distributed with the same parameter. Each customer obtains a sequential number upon arrival. The order of customers upon arrival should be preserved upon departure from the system. Customers which violated the order form different queues in the reordering buffer which has infinite capacity. If there are n, n = 1¯, N¯, customers in servers, then the latest customer to occupy a server is called the 1st level customer, the last but one - the 2nd level customer,..., the first - the nth level customer. Customers in the reordering buffer that arrived between the 1st level and the 2nd level customers, form the queue number one. Customers, which arrived between the 2nd level and the 3rd level customers, form the queue number two, etc. Customers, which arrived between the Nth level and the (N - 1)th level customers, form the queue number (N - 1) in the reordering buffer. Mathematical relations in terms of Z-transform, which make it possible to calculate the joint stationary distribution of the number of customers in the buffer, servers, and in the 1st, 2nd,..., mth queues (m = 1¯, N¯ - 1¯) in the reordering buffer, are obtained.