Применение методов Рунге-Кутты-Нюстрёма для решения уравнения хилла

В задачах электродинамики, связанных с движением электромагнитной волны в периодической среде (волновод), возникает обыкновенное однородной дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами, называемой уравнением Хилла. Для его решения используют теорему Флоке, позволяющую найти решение в виде бесконечных рядов. Однако на практике чаще применяются численные методы, а именно метод связанных волн и модифицированный метод связанных волн. Описываются другие численные методы (Рунге-Кутты-Нюстрёма), специально приспособленные для решения ОДУ 2 ого порядка. Эти методы обладают рядом преимуществ. Во первых, хотя методы Рунге-Кутты-Нюстрёма являются частным случаем раздельных методов Рунге-Кутты, но в отличие от последних обладают меньшей стадийностью, что положительно сказывается на производительности метода. Во вторых, существуют симплектические методы Рунге-Кутты-Нюстрёма. Симплектичность метода означает, что метод сохраняет не которую геометрическую структуру, называемую симплектической формой. На практике сохранение этой структуры обеспечивает сохранение полной энергии системы и других инвариантов. Такие методы находят применение при моделировании процессов продолжительных по времени. Некоторые классические методы могут давать большую локальную точность, но искажать качественную картину процесса.